98 



C. H. D. BUIJS BALLOT. FORMATION 



En outre , on s'aperçoit bientôt qu'un tel redoublement successif 

 nous donne deux sortes de propriétés; dont l'une est commune 

 à un ou plusieurs autres polygones déterminés, tandis que l'autre 

 a lieu exclusivement pour le polygone en question; c'est cette 

 dernière propriété, qui en constitue le caractère essentiel. De cette 

 manière, on devra se trouver ramené à une définition algébrique 

 de cet assemblage de polygones, à une équation dont les côtés 

 de ces polygones soient les racines. 



Mais, comme aux côtés on peut substituer les diagonales, et 

 que celles-ci ramènent tout de même, par un redoublement suc- 

 cessif de l'arc sous-tendu , à la diagonale primitive , ce qu'on vient 

 de dire les regarde tout aussi bien que les côtés: donc, chaque 

 diagonale doit être de même une racine de l'équation mentionnée. 



Quant à cette équation, elle ne contiendra que des puissances 

 paires de x- il faut qu'on puisse la réduire en autant de fac- 

 teurs, qu'il y a de polygones à caractère commun: or, pour 

 chacun de ces derniers il y a une équation caractéristique, qui 

 doit se retrouver dans l'équation générale et qui, par suite, doit 

 y entrer comme facteur. De plus, aussitôt que le nombre des 

 côtés n'est pas premier, il faut qu'à chacun des diviseurs il corre- 

 sponde un facteur spécifique. ! ) 

 * 2. Soit x, y, z, u, v, successivement la corde de l'arc 



simple, double, quadruple, octuple, et seize fois plus grand , on a 

 y*=x*(4-x>) (1), z*=y*(à-y>) (2), 

 u i =Z 2 (4— s 2 ) (3), v*=u* (à—ui) (4). 



MaintenaDt, si l'on fait yz=.x, on exprime que la corde de l'arc 

 double est égale à celle de l'arc simple ; ce qui est le caractère 

 du triangle. La formule (1) donne, après avoir divisé par x 2 , 

 1=4—^ ou x 2 — 3 = 0 (5). 



Si l'on fait z = x , l'on exprime que la corde de l'arc quadruple 

 équivaut à celle de l'arc simple; caractère du triangle et du pentagone. 

 Les équations (1) et (2) donnent 1 = (4 — x 1 ) (4 — 4 a? 5 -h? 4 ), ou bien 



l ) Voyez sur la méthode pour trouver ces facteurs uue Note de l'auteur, 

 Fer si. en Meded. Tome XIII, p. 430. 



