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C. H. D. BUIJS BALLOT. FORMATION 



Pour le polygone à 15 côtés p. ex. les cordes de 5 y , et de 

 10 y , sont celles du triangle et exigent ainsi le facteur C (3); 

 les cordes de 3 , de 6 y , de 9 , de 12 y , coïncident avec 

 le côté et les diagonales du pentagone, et exigent par suite le fac- 

 teur C (5). Pour les cordes qui restent, de ç>, de 2<p, de 4ç>, 

 de ly, de 8<p, de 11 ç> ; de 13 <p et de 14?, il faut recourir 

 au facteur spécifique S (15) du 8 e degré. 



Ainsi les équations 5) à 8) doivent avoir la forme 



C(3) = 0; C(3) X C(5) =0; C (3) x S (9) x C(7)=0, 



donc C (9) = C (3) x S (9) ; 

 C (3) x C (5) x S (15) x C (17) = 0, 



donc C (15) = C (3) x C (5) x S (15). 

 C'est-à-dire 



C (3) = x* —3 = 0; \ 



C (5) z= # 4 — hx 1 — 5=0; 



C (7) = x Q — 7 x* + 14a? 2 — 7 = 0; 



C (9) = a? 8 — 9 a? 6 + 27 a? 4 —30 a? 2 -f- 9 = 0, 



E (9) = x* — 6 a? 4 + 9 a? 2 — 3 ; ( . 



C (15) = x^ — 15 a? 12 -f-90a? 10 — 275a? 8 +450 x« — ( v J 



— 378# 4 -}-140a? 2 — 15 = 0, 



E (15) = x 8 — 7 x* + 14 ^ 4 — 8 ^ + 1 ; 

 C (17) = x 1 « — 17 x 1 4 + 119 a 1 2 — 442 x 1 °+935 # 8 — 



— 1122 ^ 6 + 714 ^ 4 — 204 ;c 2 + 17 = 0. I 



4. Remarquons que la circonférence étant divisée en parties 

 égales aux points A, B, C, D, E, F, G . . . L, M, N, on obtient le poly- 

 gone dit régulier en joignant les points dans le même ordre. Mais, 

 lorsqu'on passe chaque fois un point, ou deux points etc., et 

 qu'on joint ainsi A, C, E, G-, . . . M, A, ou A, D, G, . . . L, A , les poly- 

 gones sont dits étoilés. Il va sans dire que tout ce que nous avons 

 trouvé pour la première catégorie subsiste également pour la 

 seconde. 



Lorsque 2 n -|_ 1 est premier, il y aura autant de polygones, 

 en général, qu'on pourra tirer de lignes diverses entre les som- 

 mets; 2 m -f- 1 étant un nombre divisible, il y a autant de 

 sortes de polygones qu'il y a de facteurs, et chaque sorte a un 



