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C. H. D. BUIJS BALLOT. FORMATION 



ou, après réduction, 



0 = x li — 16 x l 2 -f- 104 x i0 — 352.£ 8 H-660^ 6 — 671^* + 



-H 330 X e1 — 55 

 = (x 10 — ll.r 8 -f-44# 6 — 11 x* +55;r 2 — 11) (a; 4 — 5a; 2 -f-5). (11) 



Pour le polygone à treize côtés on prendrait comme côtés du 

 trapèze les cordes de y, A y, 4 y et 4 y. 



Cette méthode, on le voit, n'élève pas autant le degré de 

 l'équation finale, que celle du N°. 2; mais, en revanche, il n'est 

 pas si évident ici quels sont les facteurs non-caractéristiques. 



6. Dans un cas spécial le trapèze donne lieu à une formule 

 pour la corde d d'un arc triple: lorsque les trois autres côtés 

 du trapèze sont égaux à la corde a de l'arc simple. Alors le 

 théorème fournit 



ad = a 2 (4 — a 2 ) — a 2 = a 2 (3 — a 2 ), d'où d = a(3 — a 2 ;. (12) 



La supposition de d — a donne le côté du carré a 2 =2. (13) 

 En répétant la même opération, on obtient 



e = d{Z — d 2 )=a (9 — 30 a* + 27 a 4 — 9 a 6 + a 8 ) ; 

 et , suivant qu'on prend e =z + a , ou = — a, on trouve les équations 

 ( a * _ 4) (a 2 — 2) (a 4 — 3 a 2 + 1) = 0, (14) 

 ( a 4 _ 5 a 2 + 5) (a 4 - 4 ^ + 2) = 0; (15) 



dont l'une contient C (2 , C (4) et S (10), l'autre C (5) et S (8). 

 Il est nécessaire qu'on rencontre ici tous ces polygones, comme 

 ayant la propriété commune que la corde de 9 y est égale à 

 celle de f ; mais il n'en résulte pas clairement pourquoi on les 

 trouve ainsi distribués. 



On pourrait encore chercher la corde de 5 $ , et supposer égales 

 les cordes de ç et de 5 y , ou bien celles de 3 y et de 5 y ; de 

 même encore celles de ky et de ly, enfin en général les cordes 

 de nep et de (n + 1) y dans un polygone à 2 n + 1 côtés. 



7. Cette dernière méthode, à laquelle on est conduit en com- 

 mençant par la première, est naturellement tout aussi rigoureuse 

 et bien définie ; elle exprime le caractère du polygone de (2 n H- 1) 

 côtés; elle a l'avantage de ne pas introduire des facteurs étran- 

 gers, de ne pas élever le degré de l'équation finale plus qu'il 



