ET DISCUSSION DES ÉQUATIONS. 105 



Sin = n Sin y — . n ^ ~~~ ^ Sin 3 <p -h . . . + I 



+ (_!, ^ ^-P)(^-3^...j,^ (,-2)^ ^ (17) 

 1. 2. 3 ... /(n — 1) 1 

 impair], / 

 nous donnent les équations requises, lorsqu'on prend Sin w <p z=z 0. 



Les racines en sont alors Sin — , en général Sin — , et celles- 



2 n 2 n 



71 D 71 



ci, en les multipliant par 2, deviennent les cordes de — . - , que 



n n 



l'on cherche. On voit immédiatement que pour 2 « + 1 premier, 

 tous les coefficients ont 2 w-j- 1 pour diviseur; pour les autres 2n-i-l , 

 ces derniers pourront se perdre en entier ou en partie. 



Or, les racines de notre équation pour un polygone à 2n-hl 



n 



côtés, étant 2 Sin y, en général 2 Sin p y, où y = - , 



2«.+ l 



les facteurs en sont x 2 — 4 Sin 2 y, en général x 2 — 4 Sin 2 p y, 

 jusqu'à x 2 — 4 Sin 2 n y. Soient les coefficients de l'équation 

 1, A, B, C, D, — alors on a 



A=4|sin 2 /?yz=2|(l — Cos2/>y) = 2 (n + |) == 2»+ 1. (18) 



î i 



Pour trouver les autres coefficients, nommons les racines en 

 général a, et employons les relations de Girard 

 2 a n = A v a"- 1 — B v a n ~ 2 + C y a n ~ z — ±M^a + N. 



Ainsi l'on a s a' 1 — Â 2 a — 2B, et, d'un autre côté, 

 s n 2 — 16 v Sin 4 p y = 4 s (1— Cos 2 /> v) 2 = 

 = 4 2- (1 — 2 Cos 2 p y) 4- 2 v (1 -f- Cos 4 p y) = 



= 4 (n 4- 1) + 2 (n — \) = 6 n + 3 = 3 (2 n + 1) ; 

 donc 2B = (2w+l) 2 -3(2«+l) = (n — 1) (2 n + 1). (19) 



De même a 3 = : A s a 1 — B s a -f- 3 C, et encore s a* = 

 = 64 v Sin 6 p y = 8 v (i _ Cos p y) 2 = 10 (2 » 4- 1), 

 donc 20 (2/i4-l) =t= 3 (2w + l) 2 — (n — 1) (2« + l) 2 + 



+ 3 C, d'où C = t ~ 2) (2 - ~ 3) (2 W + 1). (20) 



3 



tl 1 71 *~}"™ 1^ 



On trouve encore ainsi D = — L (2 « + 1). (21) 



6 



