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C. H. D. BUIJS BALLOT. FORMATION 



9. On voit que tous ces coefficients ont 2 n + 1 pour diviseur, 

 comme il résulte aussi des formules (16). Seulement, lorsque 

 2 n -h 1 n'est pas premier , le facteur de 2 n -f- 1 peut être , 

 et est quelquefois, fractionnaire, et ôte un diviseur de ce nombre 

 2« + 1. 



Mais cette propriété est générale. 



Car on a 2? Sin^ mx ==. : 2* {V — 1)p ^Cospmx — 



— (^) Cos [(p — 2)mx] + Q Cos [(/? — 4) ma?] — ...| ; 

 d'où, pour p pair, 



v 2^ Sin* m x = 2p {V — wiCos /?m a? — jlCos [{p—2)mx] + 

 + g) iCos[(p-4)m^-..| (22) 



Tout facteur 2 1 dans les termes du second membre est |, sauf 

 le terme du milieu, qui est n, puisque Cos [(p — p) n] = Cos 0=1; 



donc ce terme acquiert la valeur n?—^- "*•' ^ ^ ^) . 



1. 2 ... {- p 



De plus, la somme des autres termes, lesquels forment une série de 

 coefficients du binôme , est 2*, et celle des termes d' ordre 

 pair ou impair, chacune la moitié, donc 2?~ 2 . La dernière somme 

 contient le terme maximum, si on l'en soustrait, il reste 



0,-3 i P (p-i)...gp+i) : 

 2 1. 2 ... > P 



mais ces termes sont de signe contraire à celui des autres termes. Leur 



somme est donc - M? 9 (g^jjj et celle-ci ajoutée au 



2 1. 2 ... 1 p 



terme antérieurement déterminé, donne 



1 M/' - i) ... G v+ i) f2 n + ij; (23) 



2 1. 2 ... 1 /> 



10. Au lieu de déterminer ces coefficients F un après l'autre , 



1 ) La notation (^j est celle du coefficient du binôme d'ordre q pour l'ex- 

 posant p. 



