120 R. L0BATT0. NOTE SUR LA FORMATION DES ÉQUATIONS. 



Car l'équation (1) a un système de racines ^P_+J±_!l 



2 2 w + 1 



un autre de — —j racines ; ces dernières sont les sup- 



2 2 n — 1 



pléments du premier système analogue pour le polygone à 2 n — 1 



côtés; donc l'équation de ces polygones, après y avoir changé 



x en — x y sera le facteur étranger de degré - — ~. Quand on 



2 



divise par ce facteur l'équation (2) , de degré n — 2 , on obtient 



dans l'autre facteur, de degré - — ~ , l'équation du polygone à 



2 



2 n + 1 côtés. 



Lorsque 2 n + 1 est un nombre composé p. ex. = p. q. r, 

 où p y q y r sont des nombres premiers 7 les équations des polygones 

 à p y à q f à r côtés seront diviseurs de l'équation obtenue. 



6. Passons maintenant à une méthode générale pour obtenir 

 l'équation du polygone à n côtés. L'équation Sin n « = 0 (17) 



se change par la supposition de « = - — /? en Sin 



2 



= ± Cos n , suivant que n est de la forme 4 k + 1 ou 4 & — 1. 

 Maintenant employons la formule 



Cos np = 2 n ~ l Cos»/* — w. 2 M ~ 3 Cos*- 2 § + n A n ~ 3 ^ 2*- 5 Cos w - 4 /9 — 



2 



_ ^- 4) (^5) 2w _ 7 



2. 3 ' V ; 



posons-y le côté du polygone 2 Sin « = 2 Cos (î =. y , faisons 

 Cos 0 = 0, comme il suit de (17), et divisons par y y nous aurons 



yn-l _ n y n-3 + W ^3J^~3. ny n ~ 7 +. . . =0. (19) 



Supposons- y n=3 7 — 5,= 7, = 9, = 11 , = 13, = 15, = 17, 

 et nous retrouverons les équations (9) de la note de M. Buys-Ballot. 

 Elles ne contiennent que des puissances paires de y et ont, par 

 suite, autant de racines négatives que de positives; circonstance 

 dont nous avons cherché à donner l'interprétation dans nos remar- 

 ques au N°. 1. Notre équation (2 a ) a de même des racines 



