128 R. LOBATTO. NOTE SUR LA FORMATION DES ÉQUATIONS. 



14. On doit à M. Buys-Ballot (voyez la note précédente N°. 7) 

 l'observation que les polygones à un nombre de côtés divisible 

 par quatre , ont des équations symétriques par rapport à y 2 et 4 — y 2 . 



Nous avons vu (N os . 8 et 11) que l'équation Cos ± n a = 0 

 nous sert à trouver l'équation d'un polygone , sans facteur étranger. 

 Faisons n = 2 m , et m pair , donc n un multiple de 4 ; alors on 

 a l'équation connue 



Cosm« = Cos™« — (™ ) Cos— 2 «.Sin^+ ^ ) Cos w^ - 4 «.Sin^ — 

 — (™) Cos 4 «. Sin— 4 «+ (™ ) Cos 2 <*. Sin'"- 2 « ^Sin™ «; (48) 

 où le second membre est symétrique par rapport à Sin 2 « et 



Cos 2 «, et, puisque Sin « = i et Cos a = - V 4 — y 2 , symé- 



2 2 



trique aussi par rapport à y 2 et A — y 2 . 



Pour ra = 2, (n= ; 4), on a pour le carré 



Cos 2 « _ Sin 2 a = 0 d'où y 2 — (4 — y 2 ) = 0. (49) 



Soitra = 4, alors Cos 4 « — 6 Cos 2 «. Sin 2 « + Sin 4 « = 0. 

 Mais 1 = (Sin 2 « + Cos 2 «) 2 donne 2 Sin 2 w - Cos 2 a = 

 = 1 — Sin 4 a — Cos 4 «; (a) 

 par la substitution de cette valeur notre équation devient 

 4 Sin 4 « + 4 Cos 4 « — 3 = 0 ou (y 2 ) 2 + (4 — y 2 ) 1 — 12 = 0. (50) 



Faisons m = 6 et la formule (48) devient 

 Cos 6 « — Sin 6 « — 15 Sin 2 «. Cos 2 «. (Cos 2 « — Sin 2 «) =0; 

 divisons par Cos 2 « — Sin 2 « , qui correspond au carré, nous obtenons 

 Cos 4 « + Sin 4 « — 14 Sin* «. Cos 2 « = 0 ou par (a) 8 Sin 4 « + 



+ 8 Cos 4 « — 7 = 0, donc (y 2 ) 2 + (4 — ?/ 2 ) 2 — 14 = 0. (51) 



Pour m = 8 , l'équation (48) donne 

 Cos 8 « H- Sin 8 « H- 70 Sin 4 «. Cos 4 « — 28 Sin 2 «. Cos 2 «. (Sin 4 « + 



Cos 4 «) =0. 



Substituons Cos 4 « 4- Sin 4 « = 1 — 2 Sin 2 „. Cos 2 «, Cos 8 « 4- 

 4- Sin 8 « = 1 H- 2 Sin 4 «. Cos 4 « — 4 Sin 2 «. Cos 2 «, 

 et nous aurons 



1 — 32 Sin 2 «. Cos* « H- 128 Sin 4 «. Cos 4 « = 0, ou par (a) 



