132 



J. BADON GHYBEN. NOUVELLE NOTE 



Or l'équation (2), qui pour n pair peut être divisée par m, 

 ne contient , par suite, que des puissances paires de m, et peut 

 admettre ainsi la substitution m 2 = 4 — x 2 . De la sorte, 

 l'équation qui résulte de cette substitution ne contiendra encore 

 elle-même que des puissances paires de x. Les racines, valeurs 

 de x 2 , seront, à cause de la substitution employée, les carrés 

 des côtés et des diagonales du polygone régulier à n côtés in- 

 scrit au cercle à rayon, égal à l'unité, pour autant que ces 

 côtés et ces diagonales diffèrent en grandeur. L'équation (2) que 

 l'on vient d'obtenir, sera, par conséquent, celle que l'on cherche. 

 Seulement, dans le cas ou le diamètre du cercle sera une des 

 diagonales du polygone, on ne retrouvera pas cet x 1 = 4 parmi 

 les racines x 2 de l'équation (2). 



2. La transformation mentionnée se fait très-aisément à l'aide 

 de l'algorithme connu de Horner pour diminuer d'une quantité 

 donnée les racines d'une équation. Mais, cette transformation ne 

 sera nécessaire que pour n impair: puisque pour n pair on n'a 

 qu'à changer immédiatement m en x dans l'équation (2). 



Soit, par exemple, n = 14, l'équation (2) donnera après la 

 division par m 



m 12 — 12 m 10 -1-55 m 8 — 120 m" + 126 m ' —56 m 2 +7 = 0; 

 et celle-ci, par la transformation pour m 2 — 4 = — x 2 , donnera 

 x 1 2 — 12 x 1 0 + 55 x 8 — 120 x« + 126 x' — 56 x* + 7 = 0. 



Au contraire, pour n ~ 17 l'équation (2) donnera tout de suite 

 m ie — 15 m i4 + 91 m i 2 _286 m 10 +495 m 8 —462 m* + 



+ 210 m 4 —36 m 2 + 1=0, 

 qui par la même transformation, deviendra 

 x* 6 — 17 x 1 4 + 119 x 1 2 — 442 x 1 0 + 935 x* — 1122 x* + 



+ 714 x'" — 204 x 2 -h 17 = 0. 



(Voyez la note de M. Buys-Ballot , N°. 7, formule (16), et celle 

 de Lobatto, N°. 6, formule (20) et W. 12, formule (44«.) 



3. Pour démontrer ces propriétés, illustrées par un exemple au 

 N u . 2, remarquons que le premier membre de (1) s'annulera pour 

 n a = 2 k n> où k est arbitraire sauf la condition de n'être égal ni à 

 7i } ni à quelque multiple de n, puisque alors a deviendrait égal 



