SUR LA FORMATION DES ÉQUATIONS. 



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à 2 ou à un de ses multiples , et que, par suite, ch (a) s'annulerait de 

 même: ce qui rendrait le premier membre indéterminé. Dans 

 cette supposition on a 



a — _ et dans (2) m ■==. ch ( n — - - n \, (3) 

 n V n / 



de sorte que pour toute valeur entière de k , non multiple de n , 



cet m sera racine de l'équation (2). Or, cette formule (3) ne donne 



que n — 1 valeurs à m, à savoir pour k~l, — 2 ; — 3 , . . . = w — 1; 



toute autre valeur de k donnera un même résultat que celles-ci; 



c'est donc ainsi qu'on obtient les n — 1 racines de (2). Mais ces 



valeurs de m sont, deux à deux, égales en valeur absolue et munies 



d'un signe contraire, p. ex. pour k = 1 et = n — 1, pour 



k =: 2 et = n — 2, en général pour k = / et — n — /; 



eh outre, dans le cas de n pair, on a m = 0 pour la seule 



valeur de k — \ n. Tout ceci est en accord avec les remarques 



du W. 1. 



Ainsi, les racines de l'équation (2) auront la forme 



i / 2 k n\ 

 m = ± ch \n — _ J, (3^) 



pour k 1, = 2, jusques à \ (n — 1), ou à i « ; selon 



que n est pair ou impair. 



De plus, la substitution de m' 1 — 4 — x % nous donne 



xz=±y'4r-n^=±\f 4-ch> (n-^p)=±ch(p^ y (4) 



où k passe par la même série de valeurs, que ci-dessus. Ces 

 valeurs de x sont précisément le côté et les diagonales du poly- 

 gone régulier à n côtés et par conséquent les racines de l'équation 

 cherchée, prises une fois positivement, l'autre fois négativement. 

 Le diamètre y manque toujours, puisque la valeur m = 0 vient 

 d'être rejetée. 



Or, pour n pair, les valeurs de m et de x, données par (3) et 

 par (4), coincident , lorsqu'on ne prend pas garde à la valeur w = 0; 

 c'est pourquoi il suffit, dans ce cas, de substituer x k m dans 

 l'équation (2); et cela résulterait tout ainsi bien de l'inspection 

 de la figure, x et m étant les cordes d'arcs supplémentaires. 



