BAT 



Si le premier rang eft un , & que les autres aug- 

 mentent chacun d'une unité , le bataillon formera 

 un triangle qui aura les trois côtés égaux ; c'eft-à-di- 

 re , qu'il fera équilatéral ; autrement il formera un 

 triangle quelconque» 



Problème pour la formation du bataillon triangulaire 

 équilatéral : un nombre d'hommes quelconque , par exem- 

 ple , 400, étant donné pour en former un bataillon équi- 

 latéral ^ trouver le nombre des rangs dont il fera com- 



Comme dans ce bataillon le premier rang eft 1 , le 

 fécond 2 , le troifieme 3 , &c. ù s'enfuit que ce pro- 

 blème fe réduit à trouver le nombre des termes d'u- 

 ne progreffion arithmétique dont le premier terme 

 eft 1 , la différence auffi 1 , & la fomme 400. V~oye\ 

 Progression arithmétique. 



Solution. Soit le nombre des termes de la pro- 

 greffion repréfenté par n , le dernier fera auffi n ; 

 car il fera l'unité prife autant de fois qu'il y a de 

 termes. 



Cela pofé , la fomme des extrêmes de la progref- 

 fion fera 1 -f- n , laquelle multipliée par le nombre 

 des termes n , donnera n 4- n n , ou nn -f- n , pour le 

 double de la fomme de la progreffion ; c'eft-à-dire , 

 que cette expreffion n n 4- n , fera égale à deux fois 

 400, ou à 800. Or eft le quarré du nombre des 

 termes de la progreffion , n en eft la racine : donc 

 800 contient le quarré du nombre des termes de la 

 progreffion , plus la racine de ce quarré. 



Il fuit delà que pour avoir la valeur de n , ou le 

 nombre des termes de la progreffion, il faut extraire 

 la racine quarrée de 800 , de manière qu'il y ait un 

 refte égal à la racine, ou qui la contienne. 



Extrayant donc la raci- 

 ne quarrée de 800 , on 

 trouve 28 avec le refte 1 6 : 

 mais, comme ce refte eft 

 plus petit que la racine 28 , 

 on met 7 à la place de 8. \ 



Et achevant l'opération , 

 on a le refte 7 1 , qui con- 

 tient la racine 27 ; ainfi 27 

 eft le nombre des termes ou I 

 des rangs du bataillon. J 



>ioo 



400} 

 Refte 16. 



28. 



Refte 



8100 1 

 4 oo} 2 7« 



47- 



7t. 



14. 

 27. 



du }, 



98. 

 28. 



Pour le prouver , il faut chercher quelle eft la fom- 

 me de la progreffion dont le premier terme eft 1 , le 

 fécond 2, & le nombre des termes 27. 



Puifque le nombre des 

 termes eft 27 ; donc lui 

 ajoutant le premier 1, la 

 fomme des extrêmes fera 

 1 + 27 = 28 , dont la 

 moitié 14 étant multipliée 

 par 27 ^ nombre des ter- 

 mes , donnera 378 pour le 

 nombre des hommes 

 bataillon propoié. Comme 

 le nombre donné étoit 400, 

 on voit qu'il refte 22 hom- 

 mes qui ne peuvent entrer 

 dans le bataillon , & qu'on 

 peut employer ailleurs, & 

 en former un peloton lé- 

 paré. 



Il fuit de la réfolution du problème précédent , que 

 pour former des bataillons triangulaires équilatéraux , 

 il faut quelque nombre de foldats ., que l'on ait pour 

 cet effet, le doubler, & enfuiteen extraire /<z racine quar- 

 rée: mais de manière qu'il y ait un refle égal 'â la racine , 

 ou qui la contienne } & qu'alors cette racine fera le 

 Tome II, 



37§. 



5 7 o 

 9 



39» 



670. 

 6 9. 



Refte 



49. 



nombre des rangs du bataillon , dont tous les côtés 

 feront égaux. 



Si l'on a , par exemple , } 

 785 hommes à difpofer 

 ainfi en bataillon triangu- 

 laire équilatéral , on com- 

 mencera par les doubler, 

 ce qui donnera 1570. On 

 extraira la racine quarrée 

 de ce nombre , on la trou- 

 vera de 39 avec 49 qui la 

 contient : donc 39 eft le 

 nombre des rangs de ce ba- 

 taillon. 



On déterminera de la même manière celui de tous 

 les autres de la même efpece que l'on pourra pro- 

 pofer. 



Remarque. Si on fuppofe que la différence qui re^ 

 gne dans la progreffion eft 2, c'eft-à-dire, que le 

 premier terme étant toujours 1 , le fécond eft 3 , le 

 quatrième eft 5 , &c. le dernier terme fera ( n étant 

 toujours le nombre des termes 4 ) n — 1 multiplié 

 par 2 , plus 1, ou 2 n — 2 + 1 ; & ajoutant à ce ter- 

 me le premier 1 , la fomme des extrêmes fera 2 n 

 — 24-14-1; expreffion qui lé réduit à 2 n , dont 

 la moitié étant multipliée par le nombre des termes j 

 donnera le nombre de la progreffion n n. Ainfi nom- 

 mant la fomme de la progreflion , on a n n — S 9 

 c'eft-à-dire, le quarré du nombre des termes égal à 

 la fomme de la progreffion ; Se par conléquent n qui 

 eft la racine quarrée de n n , eft égal à celle de S ; 

 en forte que n — y/S\ 



D'où il fuit que dans une progreffion arithmétique 

 dont le premier terme eft 1 , & le fécond 3 , le nom- 

 bre des termes eft égal à la racine quarrée de la fom< 

 me des termes. 



Ainfi , fi l'on donne 400 J 

 hommes pour former un 

 bataillon triangulaire) dont 

 le premier rang eft 1 , & 

 le fécond 3 , ce qui eft la 

 féconde efpece des batail- 

 lons triangulaires , on trou- 

 vera le nombre des rangs 

 de ce bataillon , en ex- 

 trayant la racine quarrée 

 de 400. Or cette racine eft 

 20 , donc ce bataillon au- 

 ra vingt rangs. 



41 

 4 



o o 



i 



20. 



o o. 



Pour le prouver, confidérez que ce dernier rang 

 fera 14- 19 X 2 ou 39 , & qu'en y ajoutant 1, on au- 

 ra 40 pour la fomme des extrêmes , laquelle étant 

 multipliée par 10, moitié du nombre des termes, 

 donnera 400 pour la fomme de la progreffion , c'eft- 

 à-dire , le nombre propofé. 



Si l'on a de même 542' 

 pour former un bataillon 542 

 triangulaire de même efpe- 4 

 ce , on extraira la racine 



quarrée de ce nombre, la- 

 quelle fera trouvée de 23. 

 C'eft donc le nombre des 

 termes de cette progref- 

 fion. 



> 



142 

 43 



Refte.. 13 



On le prouvera comme dans l'exemple précédent, 

 en confidérant que le der- 

 nier terme fera 1 4- 2 X 22 23 

 = 45. ajoutant à ce terme 25 



le premier 1 , on aura 46 , — >. 



qui fera la fomme des ex- 69 



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