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ron que f Intelligence des mots François , & nulle- 

 ment celle de notre fyntaxe , c'eft - à - dire de ce qui 

 fait que nos mots affer'nblés & rangés dans un certain 

 ordre font un fens : je dis que fi quelqu'un diloit à 

 fcicéron : illujlre Romain , après votre, mort Augujle 

 vainquit Antoine* Cicéron entendroit chacune de ces 

 paroles en particulier , mais il ne connoîtroit pas 

 quel eft celui qui a été le vainqueur , ni celui qui a 

 été vaincu ; il auroit befoin de quelques jours d'ufa- 

 ge , pour apprendre parmi nous que c'eft l'ordre des 

 mots , leur pofition , & leur place , qui eft le figne 

 principal de leurs rapports. 



Or , comme en Latin il faut que le mot ait la ter- 

 minaifon deftinée à fa pofition , & que fans cette 

 condition la place n'influe en rien pour faire enten- 

 dre le fens , Augujlus vicit Antonius ne veut rien dire 

 en Latin. Ainfi Augujle vainquit Antoine , ne forme- 

 roit d'abord aucun fens dans l'efprit de Cicéron ; 

 parce que l'ordre fucceffif ou fignificatif des vues de 

 î 'efprit n'eft indiqué en Latin que par les cas ou ter- 

 minaifons des mots : ainfi il eft indifférent pour le 

 fens de dire Antonium vicit Augujlus, ou Auguflus 

 vicit Antonium. Cicéron ne concevroit donc point 

 le fens d'une phrafe , dont la fyntaxe lui feroit en- 

 tièrement inconnue. Ainfi il n'entendroit rien à Au- 

 gujle vainquit Antoine; ce feroit-là pour lui trois mots 

 qui n'auroient aucun figne de rapport. Mais repre- 

 nons la fuite de nos réflexions fur les cas. 



Il y a des langues qui ont plus de fix cas, & d'au- 

 tres qui en ont moins. Le P. Galanus , Théatin , qui 

 avoit demeuré plufieurs années chez les Arméniens , 

 dit qu'il y a dix cas dans la langue Arménienne. Les 

 Arabes n'en ont que trois. 



Nous avons dit qu'il y. a dans une langue & en cha- 

 que déclinaifon autant de cas , que de terminaifons 

 différentes dans les noms ; cependant le génitif & le 

 datif de la première déclinaifon des Latins , font fem- 

 blables au fingulier. Le datif de la féconde eft auffi 

 terminé comme l'ablatif : ilfemble donc qu'il ne de- 

 vrait y avoir que cinq cas en ces déclinaifons. Mais 

 i°. il eft certain que la prononciation de Va au no- 

 minatif de la première déclinaifon , étoit différente 

 de celle de Va à l'ablatif: le premier eft bref, l'autre 

 eft long. 



2°. Le génitif fut d'abord terminé en ai , d'où l'on 

 forma œ pour le datif. In prima declinatione diclum 

 olim menfai, & hinc deinde jormatum in dativo menfse. 

 Perizbnius in Sanftii Minervâ, L. I. c. vj. n. 4. 



3 0 . Enfin l'analogie demande cette uniformité de 

 fix cas dans les cinq déclinaifons, & alors ceux qui 

 ont une terminaifon femblable , font des cas par imi- 

 tation avec les cas des autres terminaifons , ce qui 

 rend uniforme la raifon des conftrudions : cajus junt 

 non vocis , jed jîgnificationis , nec non etiam jlruclurce. 

 rationem jervamus. Prifc. L. V. de Cafu. 



Les rapports qui ne font pas indiqués par des cas 

 en Grec , en Latin , & dans les autres langues qui 

 ont des cas , ces rapports, dis-je , font fuppléés par 

 des prépofitions , clam patrem. Teren. Hecy. Acl. III. 

 fc. iij. v. 36 



Ces prépofitions qui précèdent les noms équiva- 

 lent à des cas pour le fens , puifqu'elles marquent des 

 vues particulières de l'efprit ; mais elles ne font point 

 des cas proprement dits , car l'efTence du cas ne con- 

 fifte que dans la terminaifon du nom , deftinée à in- 

 diquer une telle relation particulière d'un mot à quel- 

 qu'autre mot de la propofition. £ F) 



Cas IRRÉDUCTIBLE du troifiême degré, ou fim- 

 •plement Cas irréductible (en Analyje) c'eft ce- 

 lui où une équation du troifiême degré a fes trois 

 racines réelles, inégales &incommenfurables. Dans 

 ce cas , fi on réfout l'équation par la méthode ordi- 

 naire , la racine quoique réelle, fe préfente fous une 

 forme qui renferme des quantités imaginaires 3 & 



C A S 



Von n'à pu jufqùa préfent réduire cette expfefïion à 

 une forme réelle , en chafTant les imaginaires qu'elle 

 contient. Voye{ Réel , Imaginaire , &c. Entrons 

 fur ce fujet dans quelque détail. 



Soit x3 qx+ f = ô une équation du troifiême 

 degré , dans laquelle le fécond terme eft évanoui. 

 Foye{ Evanouissement, Equation & Trans- 

 formation , &c. Pour la réfoudre , ]ehïsx=zy 

 -f{, & j'ai x3 =zy3 + 3 yy{ + 3iyy + ^ — yi, 

 + }yi x +V ; donc x3 — 3yix—y3 = 0. Cette 



équation étant comparée terme àterme avec x3 -\-qx 

 + r=zo, on aura, i°. ~3J{== q , ou l= -J~; 

 i°.y3 +^=zirr, oiiy3+ r = -lL;ouy6+ry? i 



— _?L 



Xy ' , 



Cette équation , qu'on peut regarder comme du 

 fécond degré, (Voye^ Aeaissement) étant réfolue 

 à la manière ordinaire, (Voye^ Equation) donne 



a 3 =--j±V / (^ + I ~y Donc àcaufe de = 



— r -y3, on aura $ =- + V( £ + ^ ) ; donc 



x ony + i = )/-i-± |/( ) + 



v'-J-^^âL + lL). Telle eft la forme de la 



valeur de x. Cela pofé, 



i°. Il eft évident que fi q eft pofitif, r étant po« 

 litif ou négatif, cette forme eft réelle , puifqu'elle ne 

 contient que des quantités réelles. Or dans ce cas, 

 comme on le verra à l'article Equation, deux des 

 racines font imaginaires. Ainfi la feule racine réelle 

 fe trouve exprimée par une formule qui ne contient 

 que des quantités réelles. Ce cas ne tombe donc point 

 dans le cas irrèduclible , & n'a aucune difficulté. 



2 0 . Si q eft négatif, & que-^- = -—■ , alors l'é- 

 quation a deux racines égales , & il n'y a encore 

 aucune difficulté. 



3 0 . Si q eft négatif & ~ > , il y a deux 

 racines imaginaires , & la racine réelle fe trouve 

 repréfentée par une formule toute réelle ; ce qui n'a 

 point de difficulté non plus. 



4 0 . Mais fi q eft négatif & que < ~ , alow 



— _|_ ~ eft une quantité négative , & par con- 

 féquent + ~f ) Q & imaginaire. Ainfi l'ex- 

 prefîion de x renferme alors des imaginaires. 



Cependant on démontre en Algèbre, que dans ce 

 casles trois racines font réelles & inégales. On peut 

 en voir la preuve à la fin de cet article. Comment 

 donc peut -il fe faire que la racine x fe préfente fous 

 une forme qui contienne des imaginaires ? 



M. Nicole a le premier réfolu cette difficulté 

 (Mèm. acad. 1J38.) Il a fait voir que l'exprefTion 

 de x, quoiqu'elle contienne des imaginaires , eft en. 



effet réelle. Pour le prouver, foit ~ +^ ) 



— b \Z~\ , — on aura xz= )/a-\-b \^—\ 



^_ y/a — b \/— 1. Il s'agit de montrer que cette ex- 

 prelfion, quoiqu'elle renferme des imaginaires , re- 

 préfente une quantité réelle. Pour cela, foit formée 

 fuivantles règles données à l'article Binôme, une 



? 



férié qui exprime la valeur de V a -f- b y/— 1 ou 



r L 



a + b y/- 1 * & celle de a-b y/- 1 S on trou- 

 vera après avoir ajoûté enfemble ces deux fériés , 

 que tous les termes imaginaires fe détruiront, & 

 qu'il ne reftera qu'une fuite infinie de termes com- 

 pofés de quantités toutes réelles. Ainfi la valeur de x 

 eft en effet réelle, La difficulté eft de fomoier cette 



férie^ 



