férié ; c'eft à quoi on n'a pû parvenir jufqu'à pré- 

 fent. Cependant M. Nicole l'a fommée dans quel- 

 ques cas particuliers , qu'il a par conséquent fouf- 

 traits , pour ainfi dire , au cas irréductible. Voye?^ les 

 Mem> a-cad. zyjS, & fuiv. 



Lorfque l'une des trois équations réelles & iné- 

 gales eft commenfurable , alors l'équation n'eft plus 

 dans le cas irréductible , parce que l'un des divifeurs 

 du dernier terme donne la racine commenfurable. 

 Foyer_ Diviseur & Racine. 



Mais quand l'équation eft incommenfurable , il 

 faut , pour trouver l'expreffion réelle de la racine , 

 ou fommer la férié fufdite , ou dégager de quelqu'au- 

 tre manière l'expreflion trouvée, de la forme imagi- 

 naire qui la défigure pour ainfi dire. C'eft à quoi on 

 travaille inutilement depuis deux cents ans. 



Cette racine du cas irréductible , fi difficile à trou- 

 ver par l'Algèbre , fe trouve aifément par la Géo- 

 métrie. Foyei Construction. Mais quoiqu'on ait 

 fa valeur linéaire, on n'en eft pas plus avancé pour 

 fon expreffion algébrique. V. Incommensurable. 



Cet inconvénient du cas irréductible vient de la 

 méthode qu'on a employée jufqu'ici pour réfoudre 

 les équations du troifieme degré ; méthode impar- 

 faite , mais la feule qu'on ait pû trouver jufqu'à pré- 

 fent. Voici en quoi confifte l'imperfection de cette 

 méthode. On fuppofe x=y-\-z_, y & { étant deux 

 quantités indéterminées ; enfuite on a tout à la fois 

 x3 — 3 y l x — y 3 = o y & x3 + q x + r — o. On com- 



pare ces équations terme à terme , & cette comparai- 

 son terme à terme enferme une fuppofition tacite , qui 

 amené la forme irréductible fous laquelle x eft ex- 

 primée ; à la rigueur onafr + r=-^j^x — y 3 — ?3 ; 

 voilà la feule conféquence rigoureufe qu'on puiffe ti- 

 rer de la comparaifon des deux équations : mais ou- 

 tre cela on veut encore fuppofer que la première 

 partie de q x-f r, c'eft-à-dire q x foit égale à t- 3 y £ x, 

 première partie du fécond membre. Cette fuppofi- 

 tion n'eft point abfolue ni rigoureufement néceflaire, 

 on ne la fait que pour parvenir plus aifément à trou- 

 ver la Valeur de y & de { , qu'on ne pourroit pas 

 trouver fans Cela ; d'ailleurs comme/ & ( font l'une 

 & l'autre indéterminées , an peut fuppofer — • 3 y 1 x 

 ~q x & —y 3 — £ 3 = r. Mais cette fuppofition même 

 fait que les deux quantités y & { , au lieu d'être réel- 

 les comme elles devraient, fe trouvent chacune ima- 

 ginaires. Il eft vrai qu'en les ajoutant enfemble , leur 

 fomme eft réelle : mais l'imaginaire qui s'y trouve 

 toujours , & qu'on ne peut en chafler , rend inutile 

 l'expreffion de x qui s'en tire. 



En un mot , l'équation x —y ~j- ,~ ne donne à la ri- 

 gueur que cette équation qx^ r r— — ~]y ?_x —y3 —2} 



OU qy+'Jl+r=- 3 yy l - 3 y {i ~y3- { 3 ; & 



toutes les fois que l'on voudra de cette équation en 

 faire deux autres particulières, on fera une fuppofi- 

 tion tacite qui pourra entraîner des inconvéniens im- 

 poffibles à éviter , comme il arrive ici , 011 y & 1 fe 

 trouvent forcément imaginaires. 



Il faudroit voir fi par quelque moyen on ne pour- 

 roit pas couper l'équation fufdite en deux autres, qui 

 donnaffent à y & à £ une forme réelle & facile à trou- 

 Ver: mais cette opération paroît devoir être fort dif- 

 ficile , fi elle n'eft pas impoffible. 



J'ai fait voir dans les Mémoires de V Académie des 

 Sciences de Prufe de 1746 , que l'on pouvoit tou- 

 jours trouver par la trifeclion d'un arc de cercle 

 une quantité c + e )/ -1 , égale à la racine cube de 



a+b V — 1 ; & que fi c + e y/— 1 ts V~a + b\/ —i 9 



on a y a—by'—i z=.c — e y/— 1. V. Imaginaire. 

 D'où il s'enfuit que dans les cas où un a- c de cercle 

 peut être divifé géométriquement, c'eft-à-clire , par 

 Tome IL - 



la règle & le compas, en trois parties égales , on peut 

 aftigner la valeur algébrique de c & de e : ce qui pour- 

 rait fournir des vîies pour réfoudre en quelques oc- 

 cafiôns des équations du troiiieme degré qui tombe- 

 raient dahs le cas irréductible. Voyer^ le Mémoire que j'ai 

 cité. 



Quoi qu'il en foit , la racine étant incommenfura- 

 ble dans le cas irréductible , l'expreffion réelle de cet- 

 te racine, quand on la trouverait, n'empêcherait pas 

 de recourir aux approximations. Nous avons donné 

 à l'article Approximation la méthode générale 

 pour approcher de la racine d'une équation , & nous 

 y avons indiqué les auteurs qui ont donné des mé^- 

 ïhocles particulières d'approximation pour le cas ir- 

 réductible. Voye^auffi CASCADE. 



Pmfque nous en fommes fur cette matière des équa- 

 tions du troifieme degré , nous croyons qu'on ne nous 

 faura pas mauvais gré de faire ici quelques remarques 

 nouvelles qui y ont rapport , & dont nos lecteurs 

 pourront tirer de l'utilité-. 



On fait que toute équation cm troifieme degré à 

 trois racines. Il faudrait donc, pour réfoudre d'unô 

 manière complette une équation du troifieme degré , 

 trouver une méthode qui fît trouver à la fois les trois 

 racines , comme on trouve à la fois les deux racines 

 d'une équation du fécond degré. Jufqu'à ce qu'on ait 

 trouvé cette méthode, il y a bien de l'apparence que 

 la théorie des équations du troifieme degré reftera. 

 imparfaite i mais la trouvera-t-on , cette méthode? 

 c'eft ce que nous n'ofons ni nier ni prédire. 



Examinons préfentement de plus près la méthode 

 dont on fe fert pour trouver les racines d'une équa- 

 tion du troifieme degré. On a d'abord une équation 

 dufixieme degrés 6 , &c. telle qu'on l'a vue ci-def- 

 fus, & qui a par conféquent fix racines, qu'on peut 

 aifément prouver être toutes inégales : on a enfuite 

 une équation du troifieme degré {3 — —y 3 — r; & 

 comme y3 a deux valeurs différentes à caufe de* l'é- 

 quation y 6 4- r y3 , & c . = q , & que 1 eft élevé au 

 troifieme degré , il s'enfuit que cette équation doit 

 donner aufti fix valeurs- différentes de trois pour 

 chaque valeur de ; or chacune des fix valeurs de ç 

 étant combinée avec chacune des fix valeurs ào,y , 

 on aura trente - fix valeurs différentes pour i~\-y; 

 donc x paroît avoir trente -fix valeurs différentes. 

 Cependant l'équation étant du troifieme degré , x ne 

 doit avoir que trois valeurs : comment accorder tout 

 cela ? 



Je réponds d'abord que les trente-fix valeurs pré- 

 tendues de y -f 1 doivent fe réduire à dix-huit ; en 

 effet, il ne faut pas combiner indifféremment chaque 

 valeur de 1 avec toutes les valeurs dey, mais feu- 

 lement avec les valeurs de y qui correfpondent à 

 la valeur qu'on a fuppofée àj3. p ar exemple, ort 



a#*=-*ï ±ft~ d'où l'on tire 



~ T + V( — ~ + ~ ) ; le figne -f qui précède le 

 figne radical dans la valeur de y % répond au figne — 

 qui précède le figne radical dans la valeur de ^ , & 

 le figne — au figne ; ce qui eft évident , puifque 



— —r—y3 : donc pour chacune des trois valeurs 

 de y qui répondent au figne + placé devant le ligne 

 radical , il y a trois valeurs de { qui répondent au 

 figne — placé devant le figne radical , ce qui fait* 

 neuf valeurs de y + ^ ; & en y ajoutant les neuf* 

 autres valeurs pour le cas du figne — placé avant le 

 figne radical dans l'expreftion dej% cela fait dix- 

 huit au lieu de 36 qu'on aurait eu en combinant 

 indifféremment les fignes. Mais ce n'eft pas tout. 



Quoique chacune des valeurs de y & de £ , em- 

 ployées & combinées comme on vient de le pref- 

 crire , paroifle donner une valeur de y -f ^ , il faut 

 encore rejetter celles dans lefquelles le produit 1 y 



A A aaa 



