ou la furface génératrice par le chemin parccfli.ru par 

 Ton centre de gravité. Cette méthode cil renfermée 

 dans le théorème fuivant , & fes corollaires. 



Toute furface plane ou courbe , ou tout folide produit 

 par le mouvement ou dhine ligne ou d'une furface , efl 

 égal au produit de cette ligne ou furface, par le chemin du 

 centre de gravité , c'eft- à-dire par la ligne que ce centre 

 de gravité décrit. Voye^ CENTRE DE GRAVITE. Voici 

 îa démonftration générale que certains auteurs ont 

 crû pouvoir donner de ce théorème. 



Suppofons le poids de la ligne ou furface généra- 

 trice ramafte dans fon centre de gravité ; le poids 

 total produit par fon mouvement , fera égal au pro- 

 duit du poids mu par le chemin du centre de gravi- 

 té : mais lorfque les lignes & les figures font regar- 

 dées comme des corps pefans homogènes , leurs poids 

 font alors entre eux comme leur volume ; & par con- 

 féquent le poids mû devient alors la ligne ou figure 

 génératrice , & le poids produit eft la grandeur en- 

 gendrée : la figure engendrée eft donc égale au pro- 

 duit de la ligne ou de la figure qui l'engendre par le 

 chemin de fon centre de gravité. Il ne faut pas être 

 bien difficile à fatisfaire en démonftration , pour fe 

 payer d'une preuve fi infufîifante & fi vague , qu'on 

 trouve néanmoins dans M. Wolf , d'où Chambers a 

 tiré une partie de cet article. 



Pour mettre nos lecteurs à portée d'en trouver 

 line meilleure preuve , conûdérons un levier char- 

 gé de deux poids , & imaginons un point fixe dans 

 ce levier prolongé ou non : on fait ( Foye^ Centre 

 & Levier ) que la femme des produits faits de cha- 

 que poids par fa diftance à ce point , eft égale au pro- 

 duit de la fomme des poids par la diftance de leur 

 centre de gravité à ce point ; donc fi on fait tourner 

 le levier autour de ce point fixe , il s'enfuit que les 

 circonférences étant proportionnelles aux rayons , 

 la fomme des produits de chaque poids par le che- 

 min ou circonférence qu'il décrit , efl: égale au pro- 

 duit de la fomme des poids par la circonférence dé- 

 crite par le centre de gravité. Cette démonftration 

 faite par deux poids , s'applique également & faci- 

 lement à tel nombre qu'on voudra. 



Corollaire I. Puifqu'un parallélogramme A B C D 

 X^Pl. de Méch.fig. 26°. ) peut être regardé comme 

 produit par le mouvement de la droite A B toujours 

 parallèlement à elle-même le long d'une autre droite 

 A C , & dans la direction de celle-ci , & que dans ce 

 mouvement le chemin du centre de gravité efl égal 

 à la droite EF, perpendiculaire à C D , c'eft-à-dTire 

 à la hauteur du parallélogramme; fon aire efl: donc 

 égale au produit de la bafe CD, ou de la ligne qui 

 décrit le parallélogramme par la hauteur EF. Voye^ 

 Parallélogramme, 



Ce corollaire pourrait faire naître quelque foup- 

 çon fur la vérité & la généralité de la règle précéden- 

 te : car on pourrait dire que la ligne C D fe mouvant 

 le long de A C , le centre de gravité de cette ligne , 

 •qui eft fon point de milieu , décrit une ligne égale & 

 parallèle kAC ; & qu'ainfi Taire du parallélogramme 

 A C D B eft le produit de C D par A C : ce qui feroit 

 faux. Mais on peut répondre que A Cn'eft point pro- 

 prement la directrice de CD , quoique CDfe meuve 

 le long de AC; que cette directrice eft proprement 

 îa ligne E F, qui mefure la diftance de AB à CD ; 

 & que le chemin du centre de gravité par lequel il 

 faut multiplier la ligne décrivante C D , n'eft point 

 le chemin abfolu de ce centre , mais fon chemin eft i- 

 mé dans le fens de la directrice , ou le chemin qu'il 

 fait dans un fens perpendiculaire à la ligne décri- 

 vante. Cette remarque eft néceflaire pour prévenir 

 les paralogifmes dans lefquels on pourrait tomber , 

 en appliquant fans précaution la règle précédente à 

 la mefure des furfaces & des folides. 



Coroll, IL On prouvera de la même manière que 



CEN 829 



la foïidité de tout corps décrit par un plan qui def- 

 cend toujours parallèlement à lui-même le long de 

 la droite^ C, & fuivant la direction de cette droite ,, 

 doit fe trouver en multipliant le plan décrivant par 

 fa hauteur. Voye^ Prisme & Cylindre, 



Coroll. III. Puifque le cercle fê décrit par la ré- 

 volution du rayon CL {fig. zj. ) autour du centre 

 C, & que le centre de gravité du rayon CL eft dans 

 fon milieu I\ le chemin du centre de gravité eft donc 

 ici une circonférence' d'un cercle X décrit par un 

 rayon foûdoublc ; & par conféquent Faire du cerclé 

 eft égale au produit du rayon CL, par la circonfé- 

 rence que décrirait un rayon foûdoublc de C F; ce 

 qu'on fait d'ailleurs. Foyei Cercle. 



Corol. IF. Si un rectangle AB CD {Pl. de Méck» 

 fig. 28. ) tourne autour de fon axe A D , le rectan- 

 gle décrira par ce mouvement un cylindre, & le côté 

 B Ch, furface de ce cylindre : mais le centre de gra- 

 vité de la droite B C , eft dans fon milieu F ; & là 

 centre de gravité du plan qui engendre le cylindre , 

 eft dans le milieu G de la droite E F. Ainfi le chemin 

 de ce dernier centre de gravité eft la circonférence 

 d'un cercle décrit du rayon E G ; & celui dû pre- 

 mier , la circonférence d'un cercle décrit du rayon 

 E F: donc la furface du cylindre eft le produit de lâ 

 hauteur B C , par la circonférence d'un cercle décrit 

 du rayon E F; & la foïidité du cylindre eft le pro- 

 duit du rectangle A B CD , qui fert à fa génération , 

 par la circonférence d'un cercle décrit du rayon EG 

 foûdoubîe de E F , demi -diamètre du cylindre* 

 Suppofons , par exemple , la hauteur du plan qui en- 

 gendre le cylindre , & par conféquent celle du cylin- 

 dre B C— a , le diamètre de la bafe D C=r, on 

 aura donc E G = £ r; & fitppofant que le demi 

 diamètre foit à la circonférence comme 1 eft à m , la 

 circonférence décrite par le rayon f r fera = x - m ht 

 d'où il s'enfuit que multipliant - m r par l'aire du rec- 

 tangle A C—a r, on aura la foïidité du cylindre — 

 ~mar x ; mais f m a r 2 = \ r X m r X a : or § m r r =3 

 Faire du cercle décrite par le rayon E G. Il eft donc 

 évident que le cylindre eft égal au produit de fa bafe 

 par fa hauteur, ce qu'on fait d'ailleurs. 



De même , puifque le centre de gravité de la droi- 

 te A B { PL de Méch.fig. ly. ) eft dans fon milieu 

 M, & qu'on décrit la furface du cone en faifant mou- 

 voir le triangle ABC autour d'un de fes côtés AB 

 pris pour axe , on en peut conclurre que fi P M =3 

 7 BC, la furface du cone fera égale au produit de fon 

 côté A B par la circonférence du cercle décrit du 

 rayon P M, c'eft-à-dire d'un rayon foûdoubîe du 

 demi-diametre de la bafe B C. 



Suppofons , par exemple , BC=r,AB~a,le 

 rayon étant à la circonférence , comme 1 eft à m ; 

 on aura donc P M = ±r, & la circonférence dé- 

 crite de ce rayon =~mr; & ainfi multipliant | m r 

 par le côté A B du cone , le produit qui fera {amr 

 devra repréfenter la furface du cone : mais ~amr 

 eft aufti le produit de \a par m r ; donc la furface dit 

 cone eft le produit de la circonférence de fa bafe par 

 la moitié de fon côté , ce qu'on fait d'ailleurs. 



Coroll. V. Si le triangle A CB {Pl. de Méchant 

 fig. zg. ) tourne autour d'un axe , il décrit un cone : 

 mais fi on coupe C B en deux également au point D y 

 qu'on tire la droite A D , & que A O = | A D , il eft 

 démontré que le centre de gravité fera alors fitué 

 en O ; donc la foïidité du cone eft égale au pro- 

 duit du triangle CA B par la circonférence du cercle 

 décrit du rayon PO. Or A D eft à ^ O , comme 

 BD eft à O P: d'ailleurs AO=^AD, 8zDB=z 

 K 5, donc OP-\DBz^LCB. Suppofons, par 

 exemple , CB = r,AB = a,&h raifon du rayon 

 à la circonférence celle de z km, on aura donc O P 

 — y r , la circonférence décrite de ce rayon = ±mr, 

 le triangle A CB = {- ar,6c par conféquent la foli- 



