326 A. EECEN. NOTE SUR LA TORSION I)'uN CYLINDRE ELLIPTIQUE. 



z'. Désignons par u' , v' les expressions ti, v après que z y a 

 été remplacé par z' , le lieu géométrique cherché devient alors 



* = 9 + * (8) 

 Si, au lieu d'éliminer z dans les équations (7), on y élimine 

 au contraire les variables x et y, en supposant z constant, on 

 obtient l'équation de la section tordue. Appelant maintenant w l 

 l'expression w dans laquelle x et y ont été remplacés par x' et 

 y' , cette équation devient : 



z' = z + w' (9) 



En effectuant cette dernière élimination, on obtient 



; m 2 — n 2 C , . 



* = z — — ri—- t x y ••••••••• ( 10 



m 2 n 2 q b 



équation qu'on reconnaît être celle d'un paraboloïde hyperbolique. 

 Si l'on y fait m = w ? ce qui transforme la section elliptique en 

 section circulaire, l'équation elle-même se change en cette autre , 

 plus simple, 



z' = z (11) 



qui est l'équation de la section plane elle-même. Dans ce cas, 

 mais dans aucun autre, la section plane primitive reste encore 

 plane après la torsion : le déplacement dans la direction de l'axe 

 des z devient donc partout nul. Cela ressort aussi immédiatement 

 de l'équation (1), car, en y faisant m = n, on voit que w, dé- 

 placement dans la direction de l'axe des z } s'annule spontané- 

 ment. L'opinion antérieure, suivant laquelle cette propriété de 

 rester plane appartiendrait à toute section quelconque, est donc 

 manifestement une erreur. 



Dans l'expression des forces élastiques 



T 1 = 2 4*-et ^ = - 2 -%l (12) 



m l q n l q 



n'entre pas la constante b\ la nature du corps tordu n'a donc 

 aucune influence sur la grandeur de ces forces. La coordonnée z 

 n'y entre pas non plus: les forces élastiques, ainsi que leur ré- 



