DISCUSSION D'UN SYSTÈME DE SPIRALES, 



D'APRÈS LEURS ÉQUATIONS ESSENTIELLES, 



PAR 



H. ONNEN. 



1. L'expression: équation essentielle est empruntée à la première 

 partie des œuvres posthumes de M. Krause, publiées par M. 

 Schroder, ayant pour titre: Novae theoriae linearum curvarum 

 originariae et vere scientificae specimina quinque prima, et à un 

 opuscule de M. Adolf Peters: Neue Curvenlehre , Grundzùge einer 

 Umqestaltung der hôheren Géométrie durch ihre ursprùngliche Ana- 

 lytische Méthode. Ces ouvrages parurent à peu près simultanément 

 en 1835, et contiennent, que je sache, tout ce qui a été écrit 

 sur cette matière. 



Ces deux mathématiciens s'étaient proposé, indépendamment 

 l'un de l'autre, d'exprimer analytiquement la propriété essentielle 

 d'une ligne courbe plane, c'est-à-dire la propriété qui caractérise 

 la ligne comme courbe, non pas comme lieu géométrique. 



L'équation x 2 -j- y 2 = r 2 , par exemple, en coordonnées rectan- 

 gulaires , caractérise le cercle comme le lieu géométrique de tous 

 les points qui ont la même distance à l'origine ; mais la propriété 

 essentielle du cercle consiste en ce que sa courbure, sa forme, 

 est la même en tous ses points. De toute autre courbe , la courbure 

 varie d'un point à l'autre; et c'est la loi, suivant laquelle la 

 courbure varie , qui détermine immédiatement la forme de la ligne 



