362 H. ONJN EN. DISCUSSION d'un SYSTEME DE SPIRALES, 



par suite sa propriété essentielle , et enfin son équation essentielle. 



Telle est l'idée fondamentale des travaux que je viens de 

 citer. Quelque intéressant que soit le développement donné à 

 cette idée par les auteurs, je crois pourtant qu'on pourrait tirer 

 un meilleur parti des équations essentielles, comme je me permets 

 de l'exposer dans les pages suivantes, en discutant une seule 

 équation à titre d'exemple. 



2. Je présenterai d'abord quelques considérations générales con- 

 cernant la forme analytique d'une équation essentielle et la manière 

 de la traiter. 



Au lieu de la courbure elle-même, je prends le rayon de cour- 

 bure Çj qui est inversement proportionnel à la courbure, et je 

 l'exprime en fonction de la longueur de l'arc s, compté à partir 

 d'un point de la courbe, ou en fonction de l'angle «, que fait 

 la normale avec une certaine direction prise comme direction 

 principale , ou bien la tangente avec une direction perpendiculaire 

 à celle-là. Ainsi une équation essentielle a l'une des deux formes : 



= (1) » = ¥(«) (2) 



Tandis qu'une équation en coordonnées rectilignes détermine, 

 outre la forme de la courbe, sa position par rapport aux axes, 

 de sorte que l'équation peut prendre une tout autre forme 

 rien qu'en changeant cette position, — tout changement dans la 

 forme d'une équation essentielle correspond à un changement 

 dans la forme de la courbe, raison de plus pour donner à une 

 telle équation le nom d'essentielle. Seulement les constantes qui 

 déterminent l'origine des arcs et la direction principale n'ont point 

 d'influence sur la forme de la courbe. Mais on peut éliminer ces 

 constantes de la manière suivante. 



3. En nommant le rayon de courbure de la développée 

 d'une courbe, on a évidemment 



Et en éliminant 0 , entre l'équation (1) et sa dérivée: 



= ¥ ( w ), 



