d'après leurs équations essentielles. 



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8. On voit, par ces exemples, que les courbes représen- 

 tées par les équations les plus simples, en coordonnées rectilignes 

 ou polaires , peuvent suivre des lois de courbure assez compliquées. 

 Les courbes les plus simples , après le cercle , sont sans doute la 

 spirale logarithmique et la développante du cercle , parce que dans 

 la première le rayon varie en raison de l'arc, compté à partir 

 d'un point déterminé, tandis que dans la seconde il est propor- 

 tionnel à l'angle décrit par la tangente génératrice. Cependant, 

 il y a des courbes qui ne sont pas moins simples que celles-là, 

 savoir, les courbes dans lesquelles le rayon de courbure varie 

 en raison inverse de l'arc s ou de l'angle w , ou bien les courbes 

 dans lesquelles la variation du rayon de courbure ou de la courbure 

 elle-même , par rapport à nu à w, est proportionnelle au rayon 

 ou à la courbure même, soit directement soit inversement. Toutes 

 ces lois, qui sont certes les plus simples qu'on puisse imaginer, 

 sont renfermées dans la loi plus générale que je me propose 

 d'examiner maintenant. 



9. Cette loi de courbure est exprimée par l'équation essentielle 



?-i — V 9 n • , • m (4) 



Posons ii = c n —\ cette équation pourra être écrite sous la forme 



C^i = (C Q) n , 



d'où l'on voit que le facteur c, et par suite la constante ( u, n'a 

 point d'influence sur la forme de la courbe , excepté quand n = 1 ; 

 c'est précisément la spirale logarithmique , qui est fournie par cette 

 valeur de n (fig. 1b Pl. VI). La nature de cette influence est telle , 

 que la courbe peut être plus ou moins recourbée ; le point asymptote 

 et le cercle infiniment grand , vers lesquels tendent les deux bouts 

 de la courbe, existent pour toute valeur de fi } de sorte que le 

 type général de cette forme reste conservé. Je fais observer 

 encore , que les équations 0 i=-\-e^ w = {.is donnent 



± 1 et Q = ± l 



0 „ g - 0 



+ co q = + co , 



pour w = 0 , s 



(0 



S 



„ w = -h CO , s 

 d'où l'on voit: 



