370 H. ONNEN. DISCUSSION D'UN SYSTEME DE SPIRALES, 



en même temps la direction principale, tandis que la spirale finit 

 par un cercle infiniment grand. 



Deuxième cas: l<-n <2 (fig. 1 c et d).. On a 

 pour co = 0 : .y — go et q — go 

 „ w = co : 5 = 0 „ q z=z Q) 



en faisant abstraction des signes correspondants de « , s et q , ce 

 qu'on peut faire quand on ne considère que la forme d'une des 

 deux branches qui constituent la courbe. La réunion des deux 

 branches se fait comme dans le cas précédent ; seulement , ici ces 

 points sont situés à l'infini, car l'un des deux bouts de la 

 spirale est un point asymptote , qui en même temps est l'origine , 

 et l'autre une droite asymptote, savoir la direction principale. 

 Cette droite asymptote peut être située ou non tout à fait à 

 l'infini. Pour discuter cette question, nous calculons la longueur 

 de l'arc s 1 de la développante, pour laquelle nous trouvons 



3 — 2ra 



S, = |(1 w)w| 1_n 



(2 — rc)(3 — 2rc) n } 1 



Il est évident que, pour w = 0, s t est égal à zéro lorsque 

 3 — 2n est négatif, parce que 1 — n est toujours négatif, et 

 infiniment grand, si 3 — 2n est positif. Par conséquent , la valeur 

 n = | sépare deux espèces de spirales , dans lesquelles la droite 

 asymptote est située à l'infini (fig. 1 c) ou non (fig. 1 d). Pour 

 cette valeur même on a 



s t =5 4 Ig w. 



Donc, cette spirale aussi a son asymptote à l'infini. C'est la 

 courbe que M. Krause a discutée très amplement et qu'il 

 a nommée: antiloga. 



Troisième cas: w> 2 (fig. 1 /). Les équations (6) donnent: 



pour 0 = 0, s — 0 et o = ce 

 „ w = oo , s=œ „ o = 0 



Comme dans le premier cas, l'origine est un point déterminé 

 de la courbe, par lequel passe la direction principale, mais ici 

 le rayon de courbure commence en ce point par sa valeur infini- 



