374 H. ONNEN. DISCUSSION D'UN SYSTEME DE SPIRALES , 



et le rayon de courbure g t de sa développante étant en général 

 égal à s — c , lorsque c désigne la longueur de l'arc pour le point 

 où commence le développement, on a la relation: 



Q t == (l ( ?j H- c) 



ou ^z=^(^+l), 



d'où l'on voit que, en prenant pour c différentes valeurs, on ne 

 fait autre chose qu'allonger ou raccourcir tous les ç> et ç t dans 

 le même rapport , ce qui change les dimensions mais nullement la 

 forme de la courbe , sauf dans le cas de c = 0. 



Quant à la forme de cette développante , on conçoit qu'elle se 

 compose de deux branches, correspondant aux deux branches 

 de la spirale logarithmique, et unies par un cercle asymptote, 

 extérieur pour l'une, intérieur pour l'autre branche; le rayon de 

 ce cercle est égal à c. La première branche possède en outre un 

 point de rebroussement. 



16. En intégrant k fois de suite l'équation (6): 



i 



et en ajoutant chaque fois - une constante , on obtient une équation 

 de la forme 



i 



^ = A</ +1 - n +Bw M + Cw i - 1 +..., + L (9) 



et maintenant q& signifie le rayon de courbure de la A; ième déve- 

 loppante , tandis que les constantes B , C , . . . L déterminent les 

 points où chaque fois on a commencé le développement. 



Le cas le plus intéressant se présente lorsque l'indice de &> dans 

 le premier terme du second membre est un nombre entier, c'est- 

 à-dire, lorsque n est de la forme 1+ i; la courbe développée 



a 



est alors le cercle ou une de ses développantes (« négatif), ou 

 bien une des développées de la spirale fig. le (« positif). Dans 

 le premier cas, l'équation (9) reste algébrique pour toute valeur 



