d'après leurs équations essentielles. 



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de h, dans le second cas, au contraire , elle devient transcendante 

 dès que k devient égal à «. 



Considérons en particulier les deux cas où l'indice k + — - — 



1 — n 



est égal k k et k — 1. 



17. L'équation 



^ = Ao ) ^ + B^- 1 + C w i - 2 + ....-HL (10) 



est la A; ième développante d'un cercle, dont le rayon est égal à 

 kk{k — 1) (k — 2) .... 2. 



Les coefficients A, B, etc. déterminent les points où le déve- 

 loppement de chaque courbe a commencé, ou plûtot les valeurs 

 des rayons de courbure des développantes successives pour w = 0 ; 

 car il peut arriver que le commencement du développement soit 

 un point imaginaire. En tout cas , ces constantes peuvent avoir une 

 valeur quelconque positive ou négative. Donc , le premier membre 

 d'une équation réduite à zéro du A; ième degré, égalé à v# , représente la 

 ^ième développante d'un cercle; et il est évident que chaque racine 

 réelle de l'équation correspond à un point de rebroussement de 

 la courbe, tandis que les dérivées successives de l'équation corres- 

 pondent aux k — 1 premières développantes du cercle. 



L'équation 



Q k = ^ + B"*-l + C a,*-* + .... + L . (11) 



OJ 



représente la k iime développante de la spirale 



_ 2. 3. 4 kA , 10 . 



? = ± . ^Tî ( 12 ) 



et peut toujours être considérée comme déduite d'une équation 

 algébrique en &> du /c ième degré, en divisant celle-ci par w . Les 

 racines réelles de cette équation correspondent encore à des points 

 de rebroussement de la courbe (11). 



18. Prenons comme exemple l'équation 



w 4 _ 3 w 3 12 W 2 + 45 w — 42 = 0 (13) 



d'où l'on déduit pour les deux cas, mentionnés dans le par 

 précédent : 



