d'après leurs équations essentielles. 



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2 montre clairement l'effet d'un certain changement de la direction 

 principale sur l'équation proposée et , de plus , sur toutes ses déri- 

 vées. Ainsi , par exemple , en tournant la direction principale vers 

 le point du cercle où commence le développement, on doit 

 avoir ^=0 pour ^ = 0, c'est à-dire le coefficient de o>* —1 dans 

 l'équation (10) doit être zéro. De même, si l'on prend pour direc- 

 tion principale la tangente à la deuxième développante, menée 

 par un de ses points de rebroussement , il faut faire disparaître 

 le coefficient de w*~ 2 , et ainsi de suite. 



On voit, en outre, de quelle manière un changement de la 

 direction principale peut avoir pour résultat, non-seulement qu'une 

 ou plusieurs racines changent de signe, mais qu'en même temps 

 le nombre des variations et des permanences de l'équation pro- 

 posée varie. Pour cela, il suffit d'observer qu'en parcourant les rayons 

 de courbure des développantes consécutives du cercle, corres- 

 pondantes à œ = 0, depuis la dernière développante jusqu'au 

 centre du cercle , chaque fois qu'on tourne à gauche , en passant 

 d'un rayon au suivant, l'on aura une variation, et chaque fois 

 qu'on tourne à droite, une permanence. De cette manière, on 

 pourrait démontrer géométriquement le théorème connu de Budan. 



20. Eéciproquement , les propriétés des équations algébriques 

 donnent lieu à des propriétés géométriques de courbes telles que 

 les montrent les fig. 2 et 3. Je n'en donnerai qu'un seul exemple 

 très simple. 



En général, la k ième développante du cercle possède k points 

 où le rayon de courbure a une même valeur. La somme des va- 



B 



leurs correspondantes de w est égale à — ~^ Mais, en différentiant 



k — 1 fois de suite l'équation (10), on trouve finalement: 

 9, = AAf (Lx) ... 3,2 w 4- B [k — 1) (k—2) . . . 3,2. 

 En substituant dans cette équation successivement les k valeurs 

 de w , indiquées ci-dessus, puis ajoutant, on trouve: 



2 \ u ) = 0; 



donc: si l'on cherche dans la k ihne développante du cercle k points , 



