378 M. H. ONNEN. DISCUSSION d'un SYSTEME DE SPIRALES, 



où la courbure soit la même, la somme algébrique des rayons de 

 courbure dans les points correspondants de la développante est égale 

 à zéro. 



21. Enfin, j'appelle l'attention sur quelques relations remarqua- 

 bles entre les racines des équations du deuxième, du troisième 

 et du quatrième degré et les valeurs que prennent ces équations 

 quand on y substitue les racines de leurs dérivées. Les calculs 

 toutefois étant assez longs, je ne citerai que les résultats. 



Je suppose qu'on ait chassé le deuxième terme dans chacune 

 des équations susdites. L'équation du deuxième degré est alors 

 simplement 



ç 2 = w 2 h- a. 



En différentiant et en nommant Q ' 2 la valeur de? 2 pour^ = 0, 

 et la valeur de w pour v 2 =0, on trouve d'abord aisément: 



Pour éviter les fractions, j'écris l'équation du troisième degré 

 de la façon suivante: 



ç> 3 = co 3 -h 3 a ca + 2 b. 



En différentiant deux fois, et désignant par («) Qz " et {§) q 3 " les 

 deux valeurs de g 3 correspondantes à Ç2 =0, on trouve: 



(«)ç 3 * H~ G?)e 3 " = 4& 



(*)q 3 u . (^ s "=iaf +Ab\ 



Ensuite, la valeur g 3 ' de q z pour q 1 =0 est égale à 26, et 

 la formule de Cardan donne la relation: 



? = V - f + i V( a )*s". (fl*s" H~ V -i^ f ^iV^W?3 f/ .(9?3", 

 </' désignant la valeur de « pour y 3 == 0. 

 Soit enfin 



ç. 4 = a> 4 + 6a« 2 + 8^ + c 

 l'équation du quatrième degré, et distinguons les trois valeurs 

 de ç> 4 pour q 3 = 0 par 



(r)u'", f ê )?4™, 



les deux valeurs de ç> 4 pour q 2 = 0 par 



(«) (?) ?» > 



