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1. Soit G une courbe plane quelconque rapportée aux axes Ox, 

 Oy. Les formules 



(1) x, y), y t - <p (*, y) 



font correspondre à un point M (a, y) de G un point M 1 (x lt y,) qui 

 engendre une seconde courbe G, ; pour plus de généralité, on peut 

 rapporter le point M 1 à un second système d'axes O^, 0^. 



Soient T et N les points où la tangente et la normale en M à G 

 rencontrent l'axe Ox, T 1 et N l ceux où la tangente et la normale 

 en Mj à C t coupent l'axe 0^; nous poserons OT = t, ON = w, 

 OjTj = t v O l N 1 = w, et nous écrirons y' et y\ pour les dérivées 

 dy : dx, dy l :dx l . Les lettres a, p, a n désigneront des 

 constantes, X une fonction de x seul, Y une fonction de y seul, 

 X' la dérivée dX : dx, Y' la dérivée dY : dy. 



Je me propose de déterminer les formules (1) par la condition 

 qu'une relation homographique lie l'une des quantités y[, t l ,n l à 

 l'une des quantités y', t, n. 



2. Problème I. — Les directions des tangentes MT, M,! 1 ! sont 

 liées par la relation 



(2) (ay' + b) y\ + (.//-,+ d) = 0. 

 Des formules (1) on déduit 



< 3) 



Substituons cette valeur dans l'équation (2) et ordonnons le 

 résultat par rapport à y'; il vient 



N>; + <f,) y'"- + (aq>; + 6cp; + c + ^) y' + (6<p; + « - 



Cette égalité doit avoir lieu au point {x, y), quelle que soit la 

 courbe G; par conséquent, le coefficient de y' 2 , celui de y' et le 

 terme indépendant doivent être nuls. On a donc 



(4) a<p' y -f cf y = 0, 6q>; + df' x — 0, 



(5) 



