On a donc 



aY + (ax + b) Y' - — aX' = 0, ou Y + yY' = X'; 

 d'où l'on conclut Y + yY' = a, X' = a. Par suite 

 yY = ay + p, X = a* + T« 



Les formules (13) deviennent maintenant 

 (15) 



,y + P (ax + ft) ' yi Tl y + P {ax + i 



On voit que la transformation considérée est linéaire et que les 

 droites Ox, O l x l sont des éléments correspondants. Cette conclu- 

 sion était à prévoir. 



On peut remplacer les formules (15) par d'autres qui permettent 

 facilement de vérifier qu'elles répondent au problème proposé. En 

 effet, la seconde formule (15) donne 



bç-ad _ Tl y + P (q^ + fe) * g 



//, y Tl ^ p y ^ y 



ou, avec d'autres notations, 

 par analogie on peut aussi écrire 



Dérivons ces deux dernières équations en considérant i 

 comme des fonctions de x, y l comme une fonction de x ï ; i 



gy[ <fo^ 



cy[ \ da 



