(6c - ad) f x = (ax + 6) X'. 

 Mettons encore pour £ la valeur F (u) . 2 (ax -f 6); nous aurons 



2 (6c — ad) F' (m) = X'. 

 Les variables u, x étant séparées, on doit poser 

 X' = a, 2 (6c -ad) F' (u) = a, 

 d'où l'on conclut 



X-- + * r W - |TÏ J£-g } + T . 



On connaît ainsi une première des formules cherchées, à savoir 



(20) = f(x,y) = F(u) = 2(6c l fldJ [« (* 2 + ^) + 5>6z] + Y- 

 y l pourrait se tirer de l'égalité (19) qui revient à 



(21) a(x\ + y\) + 8», - 2 (ouc + P)'- 



Si l'on remarque que l'égalité (20) est susceptible de la forme(21), 

 mais avec interversion des variables (x, y), (x^ y^, il est plus élé- 

 gant de définir la transformation cherchée par les formules (21) et 



(22) a {x* -f y z ) + 26* = 2 (a,*, + p t ), 



où aa, = 6c — orf. Si l'on dérive (21) et (22), on obtient 



i „ i \dx. dx, 



{an ^ c) -dà = a ' flw + J = a .^' 



d'où, par multiplication, une relation linéaire entre n et n x . 



Remarques. — I. Si 0 et 0, sont les points de fuite des ponc- 

 tuelles (N), (NO, on a 



.r 2 4- r = Z{«x*i + PO, A + y\ = 2 (a* + P). 



