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II. Si 0 et Û! sont des points homologues des ponctuelles (N) et 

 (N,) supposées semblables, faisons a = 0, d = 0, 6=1, c = — k 

 dans les égalités (16), (17) et (18); celles-ci se réduiront à 



(23) f y = 0, ff x + cpcp,; — kxf' x = 0, <pq>y — fcy/i = 0. 

 La première montre que f ne dépend que de x; de la seconde 



(24) f* + <p 2 - %kjxf x dx = 2Y. 



En dérivant ce résultat par rapport à y on trouve qxpj, = Y'; 

 donc, en ayant égard à la troisième des égalités (23), on peut écrire 

 Y' = hyf m d'où l'on conclut f x = a, Y' =- %a, de sorte que 



f = ax + p, Y = + |t- 



L'équation (24) devient alors 



x\ + y\ — %Jcf ax dx = kay 2 -f T- 

 La transformation cherchée correspond donc aux formules 



x x = ax + p, *f + = ka{x* + **) + T- 

 Si l'on fait k = 1, on a le cas des normales correspondantes 

 qui se coupent sur une droite fixe Ox. 



5. Problème IV. — Les ponctuelles (T) et(N,) sont projectives, 

 de sorte que 



(at + b)n x + (c< + rf) = 0. 



On trouve maintenant les trois identités 



(25) (ax + b) (ff v + qxp;) + (ex + d) f y = 0, 



M a{ff x + q>y x ) + <f. = 0, 



(27) («s -f- fc) + cpq,;,) - «y (/fi + W v ) + (ex + d) f' x 

 - cyf' y = 0. 



