Si, dans la troisième, on remplace les binômes ff x + qpcpL, 

 ff'y + <P<Py par leurs valeurs tirées des deux autres, on obtient 

 l'équation aux dérivées partielles 



(ax + b)f x + ayf y = 0, 



qui a pour intégrale 



(28) f= F (fi), où p=™±l. 

 L'égalité (26) donne, successivement, 



(29) a (P +<P 2 ) + W = 2Y, 

 (HO) a^ + cpcp;) + cf\, = Y. 



En éliminant ff' y + qpcpj, entre (25) et (30) on trouve 



(a* + 6) Y' - (bc-ad)f y ; 

 puis, en ayant égard à (28), 



(„. + 6) Y' = (6c - ad) F' (u) x - ; 



ou enfin 



Yy = -(fcc-ad)F'(u). 

 Les variables y, u étant séparées, on doit poser 



Yy = a, (arf-MF(M) = a; 

 par conséquent 



(31) Y = r-OO-ï^M + T. 



De (31) et (29) on déduit les formules cherchées 



* = a aX + b 4- Y OU r » fn * -L ^ M Y 



«(*î + yî) + 2*c, = 2(-^ + p) . 

 La vérification de la solution se fait aisément. 



