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a fait observer que cette théorie de Laplace n'utilisait pour le 

 calcul final des inconnues qu'un nombre d'équations de condition 

 égal au nombre de ces inconnues; les autres équations ne sont 

 employées que pour décider le choix que l'on doit faire (Theoria 

 motus, n° 186; Méthode des moindres carrés par Gauss, traduction 

 Bertrand, pp. 133-134). 



b) En 1809, Gauss expose la méthode des moindres carrés dans 

 la Theoria motus, en partant du principe de la moyenne arithmé- 

 tique, et en en déduisant la loi exponentielle de la probabilité des 

 erreurs accidentelles. Laplace fait observer dans la Théorie analy- 

 tique des probabilités (1812; pp. 347-348 de la 3 e édition, 1820) 

 que, rien ne prouvant que le principe de la moyenne donne le 

 résultat le plus avantageux, la même incertitude règne par rapport 

 à la règle des moindres carrés que Gauss en tire. 



Malgré ces critiques, la méthode d'exposition de la Theoria 

 motus a été adoptée universellement par les astronomes, Encke, 

 Bessel, Ivory, etc. 



c) Laplace, dans la Théorie analytique des probabilités, arrive à 

 la méthode des moindres carrés, quand le nombre des observa- 

 tions est très grand, quelle que soit la loi de probabilité des 

 erreurs, en cherchant à rendre minima l'erreur moyenne à 

 craindre pour chaque élément à déterminer, exprimé linéairement 

 en fonction des quantités observées; l'erreur moyenne à craindre 

 pour lui est égale à la somme arithmétique des produits de chaque 

 erreur par sa probabilité. Plus tard, Laplace a retouché et complété 

 son exposé dans les suppléments de la Théorie analytique des 

 probabilités. Gauss (Werke, VIII, p. 143) fait observer que l'exposé 

 ^ Laplace manque de clarté, là où il passe du cas de deux 

 «connues au cas de n, et qu'il ne sert à rien quand le nombre des 

 observations est petit. 



d ) Enfin, dans la Theoria combinationis observationum min! mi s 

 wroribus obnoxiae (1816-1821-1826, publiée en 1823 et 1828; 

 Werke, IV, pp . J-108), Gauss établit la règle des moindres carrés, 

 même si le nombre des observations n'est pas très grand, sans 

 supposer connue la loi de probabilité des erreurs accidentelles, en 

 rendant minima la somme des produits des carrés des erreurs 

 Possibles par leur probabilité, somme qui est pour lui l'erreur 

 m °yenne à craindre. 



