étendu à toutes les valeurs possibles de x, soit minimum, F (x — a) 

 étant une fonction qui est toujours positive, facile à calculer, et 

 croissante en même temps que son argument. „ On choisit le carré 

 (x — a) 2 pour F (x — a) parce que l'on rend ainsi les calculs 

 plus faciles. 



4. Trois remarques importantes sur la méthode des moindres 

 carrés. 1° Même si les relations entre les inconnues sont linéaires, 

 il ne faut pas faire entrer directement ces inconnues dans les 

 calculs, mais seulement les corrections à faire aux valeurs de ces 

 inconnues calculées préalablement avec le plus d'exactitude pos- 

 sible (lettre à Schumacher du 25 novembre 1844; Werke, VIII, 

 p. 147). Cette remarque se lie sans doute à la précédente sur l'in- 

 tégrale f fxF(x — a) dx à rendre minima : elle est plus facile à 

 étudier "entre des limites restreintes. 



2° Il faut déterminer le mieux que l'on peut, approximativement 

 au moins, les limites m, m', m", etc., des erreurs à craindre pour 

 chaque espèce de grandeurs observées ou au moins leur rapport. 

 C'est pourquoi rien ne peut remplacer la connaissance de la ques- 

 tion à laquelle on veut appliquer la méthode des moindres carrés 

 (lettres à Olbers du 3 mai 1827, à Gerling du 2 avril 1840; Werke, 

 VIII, pp. 152-154). 



3° Le vrai énoncé du principe des moindres carrés est celui-ci : 

 pour des observations faites sur des grandeurs homogènes ou non 

 M\ 2"» • • • , on doit avoir, pour les erreurs dg, dq\ dq", . . . , 

 ( M minimum, m, m\ m" étant les 



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erreurs moyennes à craindre respectivement pour q,q, g , 

 (lettre à Gerling du 2 avril 1840; Werke, VIII, pp. 153-154). 



III. Conclusion. Il résulte de cet exposé historique et critique 

 que la méthode des moindres carrés est difficile à exposer avec 

 rigueur quand on y fait intervenir la loi de probabilité supposée 

 ^connue des erreurs accidentelles, comme le prouvent les essais 

 successifs des deux grands théoriciens de la méthode, Gauss et 

 Laplace.Onen induit que le mieux est d'essayer d'établir la théorie 

 des erreurs par l'algèbre seule, en y introduisant uniquement, 

 comme l'a fait M. Goedseels, la considération des approximations 



