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Lorsque les systèmes tt, tt' ont un point double réel G et deux 

 points doubles imaginaires conjugués, A et B, on remplacera, dans 

 l'équation (3), X, Y, Z par les premiers membres des équations 

 des droites BG, CA, AB rapportées à un triangle de référence 

 réel. Ce cas comprend celui de deux systèmes directement sem- 

 blables, qui ont un point double réel (centre de similitude) et deux 

 points doubles imaginaires (points cycliques du plan). 



5. Étant donné un triangle quelconque ABC == t, soient 

 A 1 B l G l = t x le triangle qui a pour sommets les pieds des hauteurs 

 de t (triangle orthique de t), t 2 le triangle orthique de t v etc. 



Dans la Nouvelle Correspondance mathématique, VI, p. 145, 

 M. Brocard a étudié la loi des angles des triangles h* ••• et 

 remarqué que les côtés tendent vers zéro; finalement, il propose 

 comme exercice la détermination du point-limite des suites (A), 

 (B), (G). Ce dernier problème, repris par l'Intermédiaire des 

 Mathématiciens, n'a pas encore été résolu. 



L'existence du point-limite commun aux trois suites (A), (B), (G) 

 se déduit facilement de ce que les rayons des cercles circonscrits 

 aux triangles t u t„ sont R, |R, | R, ... 



La prolongation de la suite (t) à gauche n'est pas unique. En 

 effet, si I, 1', I", r sont les centres des cercles qui touchent les 

 trois côtés de t, chacun de ces points est l'orthocentre du triangle 

 formé par les trois autres, de sorte que ABG est le triangle orthique 

 des quatre triangles ITT", H'T, ni', ITI. Cette circonstance fait 

 entrevoir une certaine complication des formules relatives à la 

 suite (*). 



On peut cependant caractériser assez simplement les directions 

 des côtés des triangles t, f lf f 2 , ...En effet, les droites BG et ont 

 des directions symétriques par rapport à la bissectrice intérieure 

 ou extérieure de l'angle BAC. Par conséquent, si l'on mène par un 

 m ême point 0 des parallèles OL, OM, ON, OL 15 OM n ON lt ... 

 aux droites BG, GA, AB, B^, CA, Afr, ... et que l'on appelle 

 a ' P» T, a u p lf TlJ ... les angles de ces parallèles avec une droite 

 quelconque OX, OL l est symétrique de OL par rapport à la 

 bissectrice de l'angle MON, OM x est symétrique de OM par rap- 

 port à la bissectrice de l'angle NOL, etc., et l'on a les égalités 



a + «i = P + T, 0 + = ï + «, T + T, = « + 



