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Si l'on représente par (a- a , n , y a>n ), (x bitl , y b>n \ (x c>nf y c>n ) les coor- 

 données cartésiennes des points A M , B n , C„ par rapport à deux 

 axes quelconques, on a : 



j x aA = 2x Ci0 — ar M , j x btl = 2a; M — x c , 0 , j x c%x = 2x bt0 — x aM 



(y a ,i = % c ,o - y b ,o, fy M = 2y«,o — y c .o, I y e ,i = - 

 Il serait intéressant d'avoir les formules relatives au triangle T n . 

 Pour construire le triangle AiBiCi, observons que la parallèle à 

 B|Ci par Ai passe par le milieu de M c de AB et par B l ; donc il 

 suffit de mener par A, B, G des parallèles aux droites BiM c , 

 A y M b . 



7. Lorsque le triangle ABC est régulier, les triangles AGA n 

 AjGAjj, ... sont semblables entre eux; on en conclut que les 

 suites (A), (B), (C) sont inscriptibles à trois spirales logarith- 

 miques U a , U 6 , U c . Une rotation de 120° autour de G dans un 

 sens ou dans l'autre, fait coïncider l'une de ces courbes avec les 

 deux autres. 



Soit \ l'angle AGA, ; on trouve facilement les relations 



!| = V7, N,X — 3VS, rfnX_j$, -X — ^ 



Rapportons la figure à deux axes rectangulaires Gx, Gy dont les 

 directions positives sont choisies de manière que les plus petites 

 rotations amenant Gx sur Gy et G A sur GA t soient de même sens. 

 En appelant a l'angle x GA, R le rayon G A et en posant (* = 



« = R (cos a + * sin a), \i = sjl (cos \ + i sin X), 



les vecteurs G A, GA 1? GA 2 , GA 3 ... seront représentés par 



Le vecteur GA n aura donc pour expression 



R (cos a + i sin a) . 7* M (cos n\ + i sin n\). 

 On en conclut 



x a, n + iy ain = (x a>0 + iy afi ) . 7* M (cos n\ + i sin 



