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soient des fondions continues de x, y et a dans le voisinage des 

 valeurs x 0 , y 0 (a 0 ) et a 0 . 



Supposons que les expressions (2) soient continues dans le 

 domaine D des variables x, y, a limité aux intervalles 



x 0 zt a y 0 (a 0 ) ± b a 0 ± c, 



où a, b, c sont trois nombres positifs donnés. Soient M le maximum 

 absolu de f et M' celui de f' y dans ce domaine. 



L'intégrale y dont l'existence résulte des théorèmes généraux 

 (voir mon Cours d'analyse, t. II, n° 116), vérifie l'équation 



( 3 ) 2/ = 2/o («) + Ç f(x,tj,a)dx. 



Faisons varier x de x 0 à x 0 -f- b où b est un nombre positif 

 inférieur aux trois quantités a, ^ et . Faisons, en même temps, 

 varier a dans un intervalle suffisamment petit autour de ct 0 pour 

 que la variation de y Q reste inférieure à | et supposons aussi que 

 cet intervalle soit compris dans l'intervalle a 0 ± c. 



Sous ces conditions, on peut énoncer les propositions suivantes 

 qui établissent le théorème I : 



Proposition I. — Le point {x, y, a) ne sortira pas du domaine D. 



Gomme x et a ne sortent pas des limites de D par hypothèse, il 

 suffit de montrer que y ne sort pas non plus des limites correspon- 

 dantes y 0 (a 0 ) ± b. 



A cet effet, faisons varier x de x 0 à x en attribuant à a une des 

 valeurs permises. On a, par l'équation (3), 



\V-*o(*)\<f \f(x,y,a)\dx. 



Tant que y ne sort pas de l'intervalle y 0 (a 0 ) ± b, le point (x, y, a) 

 est dans D et l'on a 



\V - Vo (a)|<| X M^<Mô<|. 

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