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Gomme d'autre part y 0 (a) — y 0 (a 0 ) ne surpasse pas g, 

 n conclut 



I ?/ - Vo K) I < 



Donc y ne peut pas atteindre les limites de l'intervalle y^a^ztb, 

 ni à fortiori sortir de cet intervalle puisque y est fonction continue 



Proposition II. — L'intégrale y est fonction continue de x et la 

 continuité est uniforme (a restant variable). 



C'est ce qui apparaît immédiatement dans l'équation (3) où f 

 ne peut surpasser M en valeur absolue. 



Proposition 111. — L'intégrale y est aussi fonction continue de a. 



Pour le montrer, donnons à a un accroissement Aa satisfaisant 

 aux conditions précédentes. Soient Ay et Af les accroissements 

 correspondants de y et f. On tire de l'équation (3), 



Mais on a, en introduisant deux termes qui se détruisent, 



Af= f (*, y + Ay, a + Aa) - /' (x, y, a + Aa) + f{x, y , a + Aa) - f (x, gf, a). 



En vertu du théorème des accroissements finis, la première 

 différence est moindre en valeur absolue que M' | Ay | ; désignons 

 la seconde par A a f] il vient 



(4) 



I A/' 



! < M' | Ay | + | A a /- | 



Portant cela dans l'équation (4), on en conclut 



l Ay | < | Ay 0 \ + T (M' | Ay I + I * a f !) dx > 



Désignons par u le maximum de Ay entre x 0 et x 0 + î>; «1 

 vient nécessairement 



