u < | Ay 0 ! + b(M'u + max. | A a /-|), 



et, puisque 1 — Wb est positif, 



1 Ay 0 | + & max. !A a /-j 

 ^ < 1 — M'b 



Donc u tend vers 0 avec Aa, en même temps que Ay 0 et A a /", 

 C. Q. F. D. 



Nous avons considéré jusqu'ici l'intervalle (as 0 , -j- &)> mais I e 

 raisonnement est le même pour l'intervalle (x 0 , x 0 — b). 



Remarque. — La dernière inégalité écrite ci-dessus met en 

 évidence que les rapports 



55 et ' par suite ' 



restent finis quand Aa tend vers 0, pourvu que les deux rapports 



Âcf Aa ' 



restent eux-mêmes finis. C'est ce qui arrive si les dérivées ^ et 

 ^ existent et sont des fonctions continues et nous allons utiliser 

 cette remarque dans la démonstration du théorème suivant : 



Théorème IL — Si, en outre des conditions du théorème 1, les 

 dérivées et |£ existent et sont des fondions continues, l'inté- 

 ^ale y admettra aussi une dérivée partielle || fonction continue 



En effet, donnons à a l'accroissement Aa et soit Ay l'accroisse- 

 ment correspondant de y. On tire de l'équation (3) 



(5) Ay ^ Ay 0 + j*N Ay + f a ^y'^)^ dx y 



