les valeurs y' et a' étant respectivement de la forme y + 6A?/ et 

 a + 9Aa (0 < 6 < 1). Il vient ensuite en dérivant par rapport à x 



Mais, si Aa est infiniment petit, y' et a' sont infiniment voisins 

 de y et a; de plus, les dérivées partielles sont supposées continues 

 et ^ est fini d'après la remarque précédente. L'équation 

 ci-dessus peut donc s'écrire comme il suit 



(«) ifô-r.**4£ + r.<**4 + * 



où uu désigne une quantité infiniment petite avec Aa. 



De plus, dans cette équation, y est une fonction de a; et de a 

 considérée comme connue : c'est l'intégrale de valeur initiale y 0 (a) 

 et qui est fonction continue de a? et de a. 



Donc, en vertu d'une proposition connue (voir mon Cours d'ana- 

 lyse, t. II, n° 116, proposition V), la quantité ^| est infiniment 

 voisine de la solution de l'équation différentielle 



p) è 



qui a la même valeur initiale ; donc aussi de la solution u de 



dy n 



cette équation qui a la valeur initiale infiniment voisine 

 (l'intégrale étant fonction continue de sa valeur initiale). 

 Il vient donc, quand Aa tend vers O, 



et, comme u est une fonction continue de x et de a, en vertu du 

 Théorème I appliqué à l'équation (7), le Théorème II se trouve 

 établi. 



