Théorème III. — Si, en outre des conditions des deux théorèmei 

 ■précédents, les dérivées 



existent et sont des fonctions continues, l'intégrale y admettra aussi 

 une dérivée seconde ^ fonction continue de x et de a. 

 En effet, ?| est l'intégrale de (7); on a donc 



< 8 > £- + 



Donnant à a l'accroissement Aot, on déduit de l'équation (8) les 

 expressions de 



de la même manière que (5) et (6) se tirent de (3). 



On en conclut que, pour Aa infiniment petit, ^ est 

 infiniment voisin de l'intégrale u de l'équation 



(9) du _ ay/^v , a Jï. & , *£+ uf > 



y dx~ dy* [daj + 2 dyda da + 3a 2 + W/ *' 



qui a pour valeur initiale ^.Ona donc 



lim A (¥) _ m 



et m est une fonction continue de x et de a, en vertu du Théorème I 

 s'applique à l'équation (9) à cause du théorème précédent. 

 On peut continuer ainsi de suite de proche en proche et l'on 

 obtient le théorème général suivant : 



