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Théorème IV. — L'intégrale de l'équation 



dont la valeur initiale y n pour x = x 0 dépend du paramètre a sera 

 fonction continue de x et de a et admettra, par rapport à a, des 

 dérivées partielles jusqu'à l'ordre w, fonctions continues de x et a, 

 pourvu que y 0 ait des dérivées déterminée* et continues jusqu'à cet 

 ordre et que les dérivées partielles de f par rapport aux deux 

 variables y et a soient aussi déterminées et continues jusqu'à cet 

 ordre. 



Le théorème précédent s'étend facilement à un système d'équa- 

 tions différentielles simultanées. La démonstration se généralise 

 comme celle de l'existence des intégrales (comparer avec les 

 n° s 116 et 118 du t. II de mon Cours d'analyse infinitésimale). 



On obtient ainsi le théorème suivant : 



Théorème général. — Soit un système de n équations différen- 

 tielles simultanées entre n fonctions inconnues x^ x 2 , ...x n d'une 

 variable indépendante t et contenant un paramètre variable a, donc 

 de la forme 



(i = 1, % n) 



les intégrales # n a? 8 , x n dont les valeurs initiales a? 10 , <r 20 , ... 

 dépendi ni de a seront fonctions continues de t et a et admettront, par 

 rapport à a, des dérivées partielles jusqu'à l'ordre n, fonctions conti- 

 nues de t et de a, pourvu que les valeurs initiales x i0 aient des dérivées 

 iféferminées et continues jusqu'à cet ordre et que toutes les derin'cs 

 partiel 1rs des fonctions f t par rapport aux variables x et a soient 

 également déterminées et continues jusqu'à cet ordre. 



