Sur les équations aux différentielles totales 



Ch.-J. de la VALLÉE POUSSIN 



Théorème. — Considérons l'équation aux différentielles totales 

 l) dz = X(x,y,z)dx + Y(x,y,z)dy 



t soit (x 0 , y 0 , z 0 ) un système de valeurs initiales des variables. Si 

 Y et les dérivées partielles 



9X 9X 3Y 3Y 

 57' 5F' âr' si"' 



Mîf continues aux environs de ces valeurs initiales et satisfont à 



(2) w + y W = é + x ?ï- 



l'équation (1) admet une intégrale et une seule z = qp (x, y) se rédui- 

 sant à z 0 an point x 0 , y 0 . — Enfin, cette intégrale z sera fonction 

 continue de z 0 et admettra une dérivée partielle . 



Je vais établir ce théorème en reproduisant la démonstration 

 que j'en ai donnée dans mon Cours d'analyse (t. II, n° 234), 

 mais en comblant certaines lacunes qui subsistaient dans cette 

 démonstration. 



En particulier, je justifierai une interversion de deux dérivations 

 consécutives, qui avait été admise sans démonstration et qui con- 

 stitue vraiment le point délicat du problème. 



Intégrons d'abord l'équation entre l et x 



(3) «-Xtey.D, 



