et déterminons son intégrale qui se réduit à z 0 pour x = x 0 . 

 Gomme X et |^ sont continues, cette intégrale existe et est unique. 

 De plus, elle est fonction continue de z 0 et admet une dérivée 

 partielle. 



Intégrons ensuite l'équation entre z et y, x étant considéré 

 comme un paramètre 



(4) g - 



et déterminons son intégrale z = qp (x, y) qui se réduit à l pour 

 y = y 0 en sorte que l = qp (x, y 0 ). Gomme Y et ^- sont continues, 

 cette intégrale est aussi déterminée et unique. De plus, elle est 

 fonction continue de l et admet une dérivée partielle ~; elle 

 est donc aussi fonction continue de z 0 et admet une dérivée par- 



Je dis que z = qp (a?, y) est l'intégrale cherchée de l'équation (1). 



En effet, cp (x, y) se réduit à l pour y = y 0 et, par suite, à z 0 au 

 point (x 0 , y 0 ). D'autre part, puisque <p (x, y) est une intégrale de 

 (4), on a 



I reste seulement à montrer que 1 



Cette relation a lieu pour y = y 0 , car elle se réduit alors à 

 l'équation (3). Il faut montrer qu'elle subsiste pour les autres 

 valeurs de y. 



J'observe d'abord que la dérivée ^ existe et est fonction 

 continue de x et de y. En effet, qp intégrale de (4) est fonction con- 

 tinue du paramètre x et de la variable y, parce que X, \~ et ^ 



