sont des fonctions continues. C'est l'application du théorème II 

 de la note précédente. 

 Ce point établi, il suffît de démontrer que si l'on pose 



(*,y,<P) + «, 



la fonction u de x et y qui est nulle pour y = y 0 reste nulle quand 

 y varie. 



A cet effet, calculons sa dérivée par rapport à y; on a 



en supposant l'existence de ^ (j^j . 



Or nous allons établir l'existence de cette dérivée seconde en 

 justifiant en même temps qu'on peut intervertir les intégrations. 



Je rappelle, en effet, le théorème suivant de Swcharz, dont on 

 trouvera la démonstration dans le premier volume de mon Cours 

 d'analyse (p. 108, exercice 8) : 



Si cp {x, y) admet des dérivées partielles ^ et |^ et si ^ (^) 

 est continue, l'autre dérivée i~ '< ) existe aussi et est identique 

 à la précédente. y c// 



Or, dans le cas actuel, la dérivée ~ ( ^ ) existe et est continue, 

 car on a âx \ d (/J 



a /&pN a aY 3Y a? 



Tx [jy-) = 35 Y - 5 + ai" a¥ ' 



°n a donc aussi 



l@) = i + il = i + ^ (X+ " ) - 



°r, si l'on porte cette valeur dans le second membre de la rela- 

 tl0Q (5), elle se réduit, par l'identité (2), à 



