LA CONFIGURATION FORMÉE PAR LES DROITES D'UNE SURFACE DU 

 QUATRIÈME DEGRÉ A CONIQUE DOURLE 



PAR 



J. DE VRIES. 



La petite note suivante donne une méthode simj)le j^our trouver le 

 nombre et la position relative des droites situées sur une surface quar- 

 tique à conique double 



1. Soient cj)"* et -s/; deux sections planes de S^. Déterminons le degré de 

 la surface réglée R, engendrée par une droite qui s'appuie sur <p'^ et^^. 



La conique est une courbe de multiplicité 12. En effet, les surfaces 

 coniques qui^ d'un point de comme centre j^rojettent les courbes 

 (p^^ et \p^, ont en commun douze droites qui s'appuient en trois points 

 distincts sur et \p'^. 



On trouve de même que (p^ et sont des courbes quadruples de H. 



Le plan de (p* contient huit droites de H. Chacune d'elles passe par 

 un des points doubles de Cp~^ (ou elle rencontre et par une des quatre 

 intersections de et 



Puisque le plan de (J)* a en commun avec R ces huit droites et la 

 ligne quadruple (p^, la surface réglée est d'ordre 24. 



Considérons les points que B^"^ a en commun avec une troisième sec- 

 tion plane de S^. En chaque point où rencontre ou la 

 surface H^"^ est rencontrée quatre fois par De plus_, on trouve 

 2X1^ intersectioDs en chacun des points doubles de 



Par chacune des4X^4H — ^X^X^ — 2X^X 1^ intersections 

 restantes de et x^} il passe une droite qui rencontre les courbes 

 (p^j xjj^ et en quatre points distincts, de sorte qu'elle a cinq points 

 communs avec S^. 



La surface /S'* contient par conséquent seize droites. 



2. Soit a une de ces droites. Considérons la surface réglée ayant 

 pour directrices a, et 



La surface conique à directrice Cp^ et dont le centre est placé sur a 



