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La condizione è necessaria: 



Ed invero, se per ogni </' deve aversi A((pxp) = (p A{tp) ; per xp = 1 sì 

 avrà k((f') = (f A{L) = (f^ ; cioè la (p sarà una costante per la operazione A. 



La dimostrazione qui fatta rende manifesta la analogia fra quelle fun- 

 zioni che abbiamo chiamato costanti rispetto alla operazione A, e le costanti 

 numeriche in rapporto alla derivazione ordinaria, di più ci prova che esse 

 non differiscono da quelle funzioni che il Pincherle chiama periodi della 

 operazione A (^). 



Sotto questo punto di vista quindi le due denominazioni di costante, o 

 di periodo, per rapporto ad ima data operazione funzionale sono da conside- 

 rarsi come equivalenti. 



Teorema II. Se la funzione (p è costante per la operazione A, anche 

 la sua inversa è costante per quella stessa operazione. 



Si ponga ip = — . Per l' ipotesi posta avremo 



A{(pxp) = (p k(il^i) , cioè 

 A(l) =(pA(ip), ed infine 

 A(V^) = V/.A(1) = 



che prova 1' asserto. 



Teorema III. Il prodotto ed il quoziente di una funzione analitica tp 

 per una costante rispetto alla operazione funzionale A, sono funzioni che 

 hanno, rispetto ad A, lo stesso moltiplicatore della xp. 



Ed infatti se A{xp) = \pii , ed A(^) = 9>f , si ha, pei teoremi (1) e (2): 



( A{(pxp) = (pk{xp)--=g)xp . fi 



Reciprocamente. Il quoziente di due funzioni analitiche che hanno 

 un campo comune di convergenza ed ammettono lo stesso moltiplicatore 

 rispetto ad una operazione funzionale A, è una costante per la opera- 

 zione A. 



Ed invero, sia 

 (7) A.{(f) = (pfi, , k{xp)^-xpii 



e si ponga xp = (f(o . 



Dalla seconda delle (7) si ricava: 



k{(pa)) = (p (tì /i ; cioè 



' k((p(o) = (Il k{(p) . 



La funzione w è dunque costante per la operazione A. 



(') Sulla generalizzazione della proprietà del determinante Wronskiano, loc. cit., §. 5. 



