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Da questo teorema, e per essere la operazione A distributiva, si ha: 

 . Teorema IV. Se le fmzioìii analitiche , g)i ... (pn-i , convergono 

 in un campo comune r ^ ed ammettono tutte lo stesso moltiplicatore, qua- 

 lunque funzione lineare omogenea a coefficienti costanti 



I// — ft)o 9)0 + «1 9=1 H h «n-1 <fn-\ , 



ammette lo stesso moltiplicatore, rispetto alla operazione funzionale A. 



In particolare se le (fo , ... , (fn-i fossero tutte costanti, lo sarebbe 

 anche la ip . 



Se di più poniamo ^1 = A, 9)0 , ^2 — ^2 , ••• (fn-i ~- K-i (f o ^ i quo- 

 zienti Al , ^2 . . . saranno tutti costanti per la operazione A di modo che 

 si ha il teorema: 



Teorema V. Se fra n funzioni analitiche ipQ,ipi xpn-i , convergenti 

 in un campo comune esiste una relazione lineare omogenea con coeffi- 

 cienti che convergono in quello stesso campo ed ammettono un moltiplica- 

 tore comune rispetto alla operazione A, per tutti i punti del campo che 

 si ottiene da F togliendovi le radici di quei coefficienti, ha luogo una re- 

 lazione lineare omogenea fra le ipo , — > V"-! ' ^ coefficienti costanti per 

 quella operazione funzionale. 



Si potrebbe anzi aggiungere che di questi coefficienti uno può sempre 

 farsi eguale alla unità. 



Teorema VI. La condizione necessaria e su ff dente perchè fra n 



funzioni analitiche (fo ,(pi, — (fn-i , che hanno un campo comune di con- 

 ti— i 



vergenza, passi una relazione lineare omogenea ^ A, = 0 , a coeffi- 



denti costanti rispetto ad una operazione funzionale distributiva ed a 

 determinazione unica A, è che sia identicamente nullo il determinante 

 [A<'->(93)] {r,s = ^,\...n-\)... 



La condizione è necessaria: 



71-1 



Ed infatti dalla relazione ^^'k^if^ = 0, per successiva applicazione della 



71-1 



operazione A, si hanno le altre : ^ lsk^'^\(f^ = ^ {r = \ ,2...n — l),e 



s=o 



per la coesistenza di queste si richiede che sia nullo identicamente il deter- 

 minante [A^''^(9s)] (r , s = 0 , 1 . . . ^ — 1). 



La condizione è sufficiente: 

 Ciò è anzitutto manifesto per sistemi formati da due sole funzioni perchè, 



A((f>o) A(9),) 



= fi; cioè k{(fo) = (foU , A(9,) = g^ijw: ed allora, pel Teo- 



dair esser nullo identicamente il determinante 

 A(yo) _ A(yi) 



SI ricava 



^0 (Pi 



