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rema III, il quoziente è una funzione Xi costante per la operazione A, 



e si ha la relazione identica (f o — l^(p^ = 0 . 



Supponiamo ora il Teorema dimostrato per sistemi di n — 1 funzioni 

 e dimostriamolo per sistemi di n funzioni. Si vede facilmente che: 



[A<'->(y,)](r,s=l...w-l) = 



1 



A(9)o)A<'-'(cro)... A'"-^'(9)o) 

 lA''-\(Ps) k^'^'^M - A''-'X9'.) A<'->(9)o)] (r , s = 1 , 2 , ... ?^ - 1) 



Il determinante al 2° membro è della forma [A<'''(i3.,)](r,s=l,2,...w— 1) 

 ed è relativo alle n — 1 funzioni i^s'-^ (PsMV'o) — A(ys) (s= l,2...w — 1). 

 Questo determinante inoltre è identicamente nullo, perchè lo è il primo 

 membro, ed esiste un campo comune di convergenza alle funzioni anali- 

 tiche A^''\(fo). 



Siccome però il teorema si suppone dimostrato per sistemi Un — 1 fun- 

 zioni, cosi fra le iìg dovrà passare una relazione lineare omogenea a coeffi- 

 cienti costanti e si avrà : 



<"i(9'oA(9)i) — y-i A(yo)) + «2(^foA(cp2) — (p2M9>o)) + ••• + 



-\-(0„-i(^y)ok{(pn-ì) — (f'n-l A(yo)) = 0 . 



Una tale relazione può anche scriversi sotto la forma 



(fa 



s-l 



A(^o) A 



= 0 



Abbiamo visto però che l' annullarsi identico di questo determinante 

 porta ad una relazione della forma: 



n—i 



(fo — Ci ^(Osg>s = 0 

 con Ci costante per la operazione A; cioè, finalmente, alla relazione: 



^0 + ^1 9'i H h ^"-1 = 0 , 



con coefficienti costanti per la operazione A, come appunto si voleva provare. 



