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Matematica. — Sopra i divisori normali d' indice primo di 

 un gruppo finito. Nota del dott. (j. Bagnerà, presentata dal Socio 

 Luigi Bianchi. 



1. In alcune questioni che mi sono proposto, riguardanti la composi- 

 zione dei gruppi finiti, ho avuto spesso bisogno di sapere il numero dei di- 

 visori normali di un dato indice primo p , contenuti in un gruppo finito G, 

 neir ipotesi che il gruppo G possegga divisori normali di detto indice. 



Se V è il numero di tali divisori, io ho dimostrato che esso è della 

 forma 



j/' — 1 _ 

 p — l ' 



inoltre, ho fatto vedere che il gruppo G è allora isomorfo, almeno meriedri- 

 camente, ad un gruppo commutativo di grado p'' che ha tutti gì' invarianti 

 eguali a p . 



Quésti risultati mi sembrano non privi d' interesse perchè, in alcuni casi 

 importanti, sono di grande ausilio nella trattazione del difficilissimo problema 

 enunciato dal Cayley ('), quello, cioè, di trovare tutti i possibili gruppi di 

 un dato grado n; sicché, non credo inutile esporre qui l'analisi di cui mi 

 son servito per stabilirli, tanto più che essa è molto semplice per chi è fa- 

 miliare con la teoria dei gruppi finiti. 



2. Sia G un tale gruppo il quale possegga r divisori normali distinti di 

 indice primo p: Gi . G2 , ... , Gr • Dico che la loro intersezione ha, in G, un 

 indice che è un divisore di p^. Infatti, Gi e G2 sono due divisori normali 

 massimi distinti di G e quindi, come è noto (^), la loro intersezione [Gi , G2] 

 ha, in Gì , lo stesso indice che G2 ha in G , cioè p ; dunque, [Gi , G2] ha, 

 in G , r indice . Se i gruppi G3 , G4 , ... G/ ammettono il divisore [Gi , G2], 

 allora, l' intersezione [Gi , G2 , G3 , ... , GJ coincide con [Gi , G2] ; diversa- 

 mente, uno di essi, G3 , non avrà detto divisore. In questo caso, [Gi , G2] 

 e [Gì , G3] sono due divisori normali distinti di Gi , d' indice p , quindi la 

 loro intersezione [Gi , G2 , G3] ha l' indice p in [G, , G2] e l' indice p^ in G. 

 Se i gruppi G4 , ... , Gr ammettono il divisore [G, , G2 , G3] , allora l' inter- 

 sezione [Gì , G2 , G3 , ... , Gr] coincide con [Gi , G2 , G3]; diversamente, uno 

 di essi, G4 , non avrà detto divisore. In questo caso, [Gi , G2 , G3] e [Gi , G2 , G4] 



(1) Neil' American Journal of Mathematics, voi. I, pag. 50. 



(2) H. Weber, Lelirbuch der Algebra, voi. Il, pag. 22. 



