— 64 — 



sono due divisori normali distinti di [Gi , G2] d' indice p , quindi la loro in- 

 tersezione [Gì , G2 , G3 , G4] ha r indice x> in [Gri » ^2 > Grs] e l' indice in G. 



Continuando a ragionare in questo modo, si conclude che l'indice di 

 [Gì , G2 , ... , Gr] , in G , è , essendo 1 <. X ^ r ; inoltre, se ^<ir , V in- 

 tersezione dei divisori Gi , G2 , ... Gr coincide con l' intersezione di A di essi 

 convenientemente scelti. 



Ciò posto, chiamo i divisori Gi , G2 , ... , Gr indipendenti se è X — r , 

 in altri termini, se la loro intersezione ha, nel gruppo principale G , preci- 

 samente r indice p^ . 



Due divisori normali distinti, d' indice p , sono sempre indipendenti. Se 

 più divisori normali d' indice p, Gi , G2 , ... , Gr , sono indipendenti, una parte 

 qualunque di essi sono indipendenti. Infatti, se, essendo s <^ r , l' indice di 

 [Gì , G2 , ... , Gs] , in G , non è p\ si possono scegliere A s divisori. 

 Gì , G2 , ... , Gx , in modo che 



[Gì , Go , ... , Gx] = [Gì , G2 , ... , Gs] ; 



allora, essendo 



[Gì , G2 , ... , Gx , Gs+i 1 ••• ? G,-] = [Gì , G2 , ... , Gs , Gs+i , ... , Gr] , 



l'indice di [Gi , G2 , ... , G,-] , in G, sarà un divisore di p^-^'^-^ e quindi in- 

 feriore a . 



3. Chiamo, per brevità, T l' intersezione di r divisori normali indipendenti, 

 Gì , G2 , ... , G,- , d' indice p rispetto ad un gruppo finito G . Dico che il gruppo 

 complementare a T , in G , che è di grado p'' e che denoto, secondo l' uso, 

 col simbolo G/T , ha tutti i suoi elementi di grado p . 



Se « è un elemento qualunque di G non contenuto nel divisore nor- 

 male T , aT sarà un elemento di G/T diverso dall' elemento unitario T , e 

 giacché si ha 



basta far vedere che appartiene a T . Ora, appartiene a ciascuno dei 

 gruppi Gì , G2 , ... , Gr , perchè aGi , fl!G2 , ... , aGr sono elementi dei rispettivi 

 gruppi complementari in G , i quali gruppi hanno il grado comune p ; dunque, 

 a'P appartiene a 



T = [Gì , G2 , ... , Gr] . 



Dippiii, il gruppo G/T è commutativo (Abeliano). Ciò è vero per r — 1 

 ed /■ = 2 , perchè ogni gruppo di grado p 0 di grado p^ (') è commutativo ; 

 quindi, suppongo che il fatto si verifichi quando il numero dei divisori nor- 

 mali indipendenti d' indice p è inferiore ad r e dimostro che si verifica an- 

 cora allorché detto numero è r. 



(') Netto, Substitutionentheorie uni ihre Anwendung aufdie Algebra, 1882, pag. 133. 



