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I gruppi [Gri , G2] , [Gì , Gs] , ... , [Gì , GJ sono r — 1 divisori normali 

 di Gì d'indice f e sono indipendenti, perchè la loro intersezione T ha in Gi 

 r indice ; dunque, il gruppo Gi/T , che è un divisore normale d' indice p 

 di G/T , è commutativo per ipotesi. Il gruppo 



N = [G,,G3,...,G,.], 



che è d' indice in G , non è contenuto in Gi , perchè Gi , G2 , ... , G,- sono, 

 per ipotesi, indipendenti e quindi Gi/T non contiene il gruppo ciclico, di 

 grado ^ , N/T. 



Ciò posto, dato un elemento qualunque E di G/T , si può, in una ma- 

 niera sola, scegliere un elemento A di N/T ed un elemento B di Gi/T in 

 modo che sia 



E = A.B; 



dunque, per dimostrare che il gruppo G/T è commutativo, basta provare che 

 ogni elemento A di N/T è permutabile con ogni elemento B di Gi/T. Ora, 

 giacché N/T è un divisore normale ciclico di G/T, si deve avere 



B-i AB = A<^ , 



donde 



B-^' AB^' = A^^ , 

 ed essendo B un elemento di grado , sarà 



tt'p — 1 = 0 (mod j9) . 

 D'altronde, per il teorema di Format, è 



— a = 0 (mod f) ; 



quindi, 



a=\ (mod -p) 



e conseguentemente 



AB BA . 



4. Se r è il massimo numero di divisori normali indipendenti d' indice "p 

 che possiede il gruppo G, allora qualsiasi divisore normale di G di tale 

 indice contiene T , ed il rispettivo gruppo complementare di T , in detto 

 divisore, è un sottogruppo di G/T di grado f-^ ; dunque, il numero dei di- 

 visori normali d' indice di G è lo stesso del numero dei divisori di grado 

 f-^ di G/T. 



M'interessa quindi sapere, piti generalmente, il numero dei divisori di 

 grado di un gruppo Abeliano di grado f che ha tutti i suoi invarianti 

 eguali a ^ . 



