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 lo considero un elemento E diverso dall' unità di un tale gruppo e penso 

 al gruppo ciclico di grado p formato dalle potenze di E ; poi, prendendo un 

 altro elemento Ei fuori di detto gruppo ciclico, penso al gruppo formato 

 dalle potenze di Ei ; .... e così continuo fino ad esaurire i p' — 1 elementi, 

 diversi dall' unità, contenuti nel gruppo dato. Dal momento che ognuno di 

 detti gruppi ciclici contiene soltanto |) — 1 di tali elementi, concludo che 

 il numero dei divisori di grado p è 



— 1 



^■i = — —r ■ 

 p — 1 



Per trovare il numero j'o dei divisori di grado considero tutti quelli 

 che hanno uno stesso divisore di grado p , il cui numero è quello dei sotto- 

 gruppi di grado p che possiede il gruppo complementare di detto divisore, 



«'''—1 \ ny' \ ■p*'~^ ■ — • 1 



cioè ^ — : ottengo così r • — divisori di grado ; ma ognuno, 



p — 1 ° p — 1 p — 1 



— 1 



giacché ha — ^ divisori di grado p , viene ad essere contato precisa- 

 mente ^ volte; quindi, 



p — 1 



Il ragionamento porta subito alla formola 



{f—l){ f-' — 1 ) ... (p'--^-^' — 1) 

 {p-i)(p^-l)...(p^-l) ' 



dove, ponendo X = r — 1 , si ottiene il numero 



?/— 1 



il quale coincide, per quello che si è detto, col numero v dei divisori nor- 

 mali d' indice p di G . 



5. Termino col fare un' applicazione dei risultati precedenti alla com- 

 posizione di un gruppo P , il cui grado è una potenza pj^ di un numero 

 primo p. Per un teorema dovuto a Sylow ('), un tale gruppo ha certamente 

 dei divisori d' indice ^ , e si piiò ancora asserire che qualunque divisore di 

 detto indice è normale ('-). 



Ciò posto, sia G un divisore normale di P , e si pensino tutti i v di- 

 visori del gruppo G , che hanno l' indice p rispetto a questo gruppo : essi, 



(1) H. Weber, Lelirbucli der Algebra, voi. II, pag. 122. 



(2) H. Weber, 1. C-, pag. 128. 



