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Essa invece va posta in modo analogo a quelle relative ai postulati 

 delle parallele e delle dimensioni dello spazio; vale a dire dati tutti i 

 postulati necessari per costruire la figura corrispondente al campo della 

 nostra osservazione esterna e considerati come possibili tutti quei postulati 

 che non contraddicono ai precedenti e non si contraddicono fra loro (i), 

 il postulato d' Archimede è esso conseguenza degli altri ? 0 in altre parole 

 è egli possibile una geometria nella quale due segmenti A e B (A <^ B) non 

 obbediscano in generale alla relazione A.n^B, essendo n un numero intero 

 qualunque della serie 1, 2, 3 .. . ?^. .? 



Se si dà il postulato della continuità nella forma proposta da Dedekind, 

 0 facendo corrispondere biunivocamente i punti della retta ai numeri reali 

 oì^di/iari^ allora detta relazione si può considerare come un' immediata con- 

 seguenza di esso (^). Ma io diedi alla proposizione della continuità un' altra 

 forma che pur mantenendo i caratteri del continuo rettilineo non racchiude 

 quella di Archimede. Anzi nella Nota sopra citata ho rilevato che mediante 

 opportune definizioni si può dimostrare questa proposizione della continuità, 

 cosicché il postulato d'Archimede è un postulato di limitazione del campo 

 della ricerca geometrica, come lo è quello delle tre dimensioni dello spazio. 



Prima della pubblicazione dei miei F. G-., ì sigg. G. Gantor e W. Killing 

 avevano tentato di dimostrare il postulato d'Archimede. Essi non hanno però 

 confutato le osservazioni da me fatte alle loro dimostrazioni (•^), ma hanno invece 

 criticata la parte degli infiniti e infinitesimi attuali svolta nella introduzione 

 dei F. G. ; il primo ritenendola impossibile, il secondo manifestando dei 

 dubbi contro di essa. A queste critiche ho risposto punto per punto, tranne a 

 qualche osservazione del sig. Killing, la quale non aveva un senso chiaro e deter- 

 minato (^). Ma egli stesso poi chiarì meglio il suo concetto di Zusammenhang 

 che credeva necessario alla costituzione del continuo rettilineo (^). Avrei 

 risposto anche a questa obiezione, che pel sig. Killing era fondamentale, se 

 il sig. Schoenflies stesso non me ne avesse in qualche modo dispensato, os- 

 servando che tale concetto non è geometricamente necessario C^). Ma a sua 

 volta il sig. Schoenflies, che aveva già pubblicata una relazione cortese ed 

 accurata dei F. G. ('), la quale dimostra il vivo interesse da lui preso pel mio 

 libro, osservava poi nella sua prima Nota sopra citata: 



(1) F. G., pref. pag. XI-XII, opp. Osservazioni sui principi della geometria, pag. 4. 

 Atti della E. Acc. di Padova, giugno 1894, o ancora Sul postulato della continuità, pag. 162. 



(2) F. G., 1. c. 



(3) F. G., pag. 132 e 165. tr. t. pag. 701 e 705. 



(*) Intorno ad alcune osservazioni contro i segmenti infiniti e infinitesimi attuali. 

 Math. Annalen, Bd. 47. 



(^) Math. Annalen, Bd. 48, pag. 425 e seg. 

 (^) Transfinite Zalilen ecc. 



C) Gottinger Gelehrte Anzeigen, Nr. 12, 1895. In questa relazione, nella quale 

 Schoenflies riferisce e interpreta generalmente con esattezza i concetti dei F. G. e parti- 

 colarmente del continuo rettilineo, egli non si occupa della teoria degli infiniti e infinitesimi. 



