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(4) Mcf,ip) = ipk{ip) -i-xpA{cf) + A(y) A(V^) j «0 + + + 



+ «2 + A(v/))+ «scpt// + -l , 



di cui la seconda vale nei casi in cui si ha identicamente A(l) = 0, e 

 la prima vale in ogni altro caso. 



Fondandosi su queste formule si può, in modo puramente algebrico, 

 trovare la proprietà enunciata del determinante [A'"(y)s)] , come ora spero di 

 dimostrare. 



Sia r il campo di convergenza comune alle funzioni (p ed A(y'), e si 

 chiami F' il campo che risulta da F toltivi i punti radici della (f{x). La 

 funzione fi, definita dalla relazione 



A((p) = (fii , 



e che ha con le (f ed k{(p) un campo comune di convergenza contenuto in 

 F', sarà in quel che segue, chiamata moltiplicatore della funzione cp ri- 

 spetto alla operazione A. 



Quelle funzioni che ammettono, il moltiplicatore ^ = A(l), per analogia 

 a quello che si fa nell' ordinario calcolo differenziale, saranno chiamate co- 

 stanti per la operazione A. 



Teorema I. La condizione necessaria e sufficiente •perchè sia soddi- 

 sfatta identicamente la relazione 



(5) k{y>xl>)=^ipk{xp) 



per qualunque funzione xp , è che si abbia k{(p) = ; cioè che la (f sia 

 costante per la operazione A. 



La condizione è sufficiente: 

 Sia prima ^ non identicamente nulla. Per ogni funzione <f, costante per 

 la operazione A, si hanno le relazioni: 



(f — -^k{(f>)^Q, ^k{(p) = <p 



e la formola di moltiplicazione (3) si riduce semplicemente ad 



k{(fip) (f k{ip) 



che dimostra 1' enunciato. 



Sia poi ? = 0. Avremo identicamente : 



k((p) = = 0 , 

 e la formola (4) di moltiplicazione, dà, anche per questo caso: 



k((pip) (p . k{ìl') . 



